【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,我們定義直線為拋物線b、c為常數(shù),夢(mèng)想直線;有一個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上,另有一個(gè)頂點(diǎn)在y軸上的三角形為其夢(mèng)想三角形”.

已知拋物線與其夢(mèng)想直線交于A、B兩點(diǎn)點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè),與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C

填空:該拋物線的夢(mèng)想直線的解析式為______,點(diǎn)A的坐標(biāo)為______,點(diǎn)B的坐標(biāo)為______;

如圖,點(diǎn)M為線段CB上一動(dòng)點(diǎn),將AM所在直線為對(duì)稱軸翻折,點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)為N,若為該拋物線的夢(mèng)想三角形,求點(diǎn)N的坐標(biāo);

當(dāng)點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)時(shí),在該拋物線的夢(mèng)想直線上,是否存在點(diǎn)F,使得以點(diǎn)A、C、EF為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)EF的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】(1);;;(2)N點(diǎn)坐標(biāo)為;(3)、、

【解析】試題分析:(1)由夢(mèng)想直線的定義可求得其解析式,聯(lián)立夢(mèng)想直線與拋物線解析式可求得AB的坐標(biāo);

(2)當(dāng)N點(diǎn)在y軸上時(shí),過AADy軸于點(diǎn)D,則可知AN=AC,結(jié)合A點(diǎn)坐標(biāo),則可求得ON的長,可求得N點(diǎn)坐標(biāo);當(dāng)M點(diǎn)在y軸上即M點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí),過NNPx軸于點(diǎn)P,由條件可求得NMP=60°,在Rt△NMP中,可求得MPNP的長,則可求得N點(diǎn)坐標(biāo);

(3)當(dāng)AC為平行四邊形的一邊時(shí),過F作對(duì)稱軸的垂線FH,過AAKx軸于點(diǎn)K,可證EFH≌△ACK,可求得DF的長,則可求得F點(diǎn)的橫坐標(biāo),從而可求得F點(diǎn)坐標(biāo),由HE的長可求得E點(diǎn)坐標(biāo);當(dāng)AC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí),設(shè)E(﹣1,t),由A、C的坐標(biāo)可表示出AC中點(diǎn),從而可表示出F點(diǎn)的坐標(biāo),代入直線AB的解析式可求得t的值,可求得EF的坐標(biāo).

(1)∵拋物線,∴其夢(mèng)想直線的解析式為,聯(lián)立夢(mèng)想直線與拋物線解析式可得,解得,∴A(﹣2,),B(1,0),故答案為:;(﹣2,);(1,0);

(2)當(dāng)點(diǎn)Ny軸上時(shí),AMN為夢(mèng)想三角形,如圖1,過AADy軸于點(diǎn)D,則AD=2,中,令y=0可求得x=﹣3x=1,∴C(﹣3,0),且A(﹣2,),∴AC= =,由翻折的性質(zhì)可知AN=AC=,在Rt△AND中,由勾股定理可得DN= = =3,∵OD=,∴ON=﹣3ON=+3,當(dāng)ON=+3時(shí),則MNODCM,與MN=CM矛盾,不合題意,N點(diǎn)坐標(biāo)為(0,﹣3);

當(dāng)M點(diǎn)在y軸上時(shí),則MO重合,過NNPx軸于點(diǎn)P,如圖2,在Rt△AMD中,AD=2,OD=,∴tan∠DAM==,∴∠DAM=60°,∵ADx軸,∴∠AMC=∠DAO=60°,又由折疊可知NMA=∠AMC=60°,∴∠NMP=60°,且MN=CM=3,∴MP=MN=,NP=MN=,∴此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為();

綜上可知N點(diǎn)坐標(biāo)為(0,﹣3)或(,);

(3)①當(dāng)AC為平行四邊形的邊時(shí),如圖3,過F作對(duì)稱軸的垂線FH,過AAKx軸于點(diǎn)K,則有ACEFAC=EF,∴∠ACK=∠EFH,在ACKEFH,∵∠ACK=∠EFH,∠AKC=∠EHFAC=EF,∴△ACK≌△EFH(AAS),∴FH=CK=1,HE=AK=,∵拋物線對(duì)稱軸為x=﹣1,∴F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0或﹣2,∵點(diǎn)F在直線AB上,當(dāng)F點(diǎn)橫坐標(biāo)為0時(shí),則F(0,),此時(shí)點(diǎn)E在直線AB下方,Ey軸的距離為EHOF==,即E點(diǎn)縱坐標(biāo)為﹣,∴E(﹣1,﹣);

當(dāng)F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣2時(shí),則FA重合,不合題意,舍去;

當(dāng)AC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí),C(﹣3,0),且A(﹣2,),∴線段AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣2.5,),設(shè)E(﹣1,t),Fx,y),則x﹣1=2×(﹣2.5),y+t=,∴x=﹣4,y=t,代入直線AB解析式可得t=﹣×(﹣4)+,解得t=﹣,∴E(﹣1,﹣),F(﹣4,);

綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)F,此時(shí)E(﹣1,﹣)、F(0,)或E(﹣1,﹣)、F(﹣4,).

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(2)在投入成本最低的情況下,增種果樹多少棵時(shí),果園可以收獲果實(shí)6750千克?

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(1)求對(duì)角線AC的長及菱形ABCD的面積.

(2)如圖①,當(dāng)點(diǎn)O在對(duì)角線BD上運(yùn)動(dòng)時(shí),OEOF的值是否發(fā)生變化?請(qǐng)說明理由.

(3)如圖②,當(dāng)點(diǎn)O在對(duì)角線BD的延長線上時(shí),OEOF的值是否發(fā)生變化?若不變,請(qǐng)說明理由;若變化,請(qǐng)?zhí)骄?/span>OE,OF之間的數(shù)量關(guān)系.

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(1)畫出△A′B′C′.

(2)△ABC兩次共平移了___個(gè)單位長度。

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