Question

（2013•槐蔭區(qū)二模）如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，現(xiàn)有兩點(diǎn)E、F，分別從點(diǎn)D、點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)E沿線段DA以1個(gè)單位長(zhǎng)度每秒的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F沿折線A-B-C以2個(gè)單位長(zhǎng)度每秒的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)E離開點(diǎn)D的時(shí)間為t秒．
（1）t=

2

3

時(shí)，求證：△AEF為等腰直角三角形；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，線段EF與DC平行；
（3）當(dāng)1≤t＜2時(shí)，設(shè)EF與AC相交于點(diǎn)M，連接DM并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)N，求

AN

NB

的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程求得AE、AF的長(zhǎng)即可作出判斷；
（2）線段EF與DC平行，則F一定在邊BC上，且DE=CF，即四邊形EFCD為矩形，利用t表示出DE和CF，即可得到一個(gè)關(guān)于t的方程，從而求得；
（3）易證△AME∽△CMF，△AMN∽△CMD，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可求解．

解答：解：（1）t=

2

3

時(shí)，
DE=

2

3

，AF=

2

3

×2=

4

3

，
∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，
∴∠DAB=90°，AE=2-

2

3

=

4

3

，
∴AE=AF，
∴△AEF是等腰直角三角形．

（2）四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，
∴AD=BC=2，
當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到邊BC上且AE=BF時(shí)，
則有DE=CF，
∴四邊形EFCD為矩形，
∴EF∥CD，
∵AE=2-t，BF=2t-2，
∴2-t=2t-2，
∴t=

4

3

，
∴t=

4

3

時(shí)線段EF與DC平行．

（3）由（2）知AE=2-t，
∵CF=4-2t，
∴

AE

CF

=

2-t

4-2t

=

1

2

，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AB∥DC，
∴△AME∽△CMF，△AMN∽△CMD，
∴

AM

CM

=

AE

CF

=

1

2

，
∴

AN

CD

=

AM

CM

=

1

2

，
∴AN=

1

2

AB，
∴

AN

NB

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，正確求得

AE

CF

=2是關(guān)鍵．