Question

在?ABCD中，G為BC延長線上一點，射線AG與直線BD相交于E、與直線CD相交于F．
（1）求證：

AE

EF

=

BE

ED

；
（2）求證：AE²=EF•EG；
（3）如果把“G為BC延長線上一點”改為“G為線段BC上一點（不與點B、C重合）”，其它條件不變，（2）中的結(jié)論是否成立嗎？若成立，請你加以證明；若不成立，請你說明理由．

Answer 1

分析：（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AB∥CD，即可得△ABE∽△FDE，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，證得

AE

EF

=

BE

ED

；
（2）由AD∥BC，可得△ADE∽△GBE，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可得

EG

AE

=

BE

ED

，又由

AE

EF

=

BE

ED

，即可證得AE²=EF•EG；
（3）由在?ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，可得△ABE∽△FDE，△ADE∽△GBE，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例可得：

AE

EF

=

BE

ED

，

EG

AE

=

BE

ED

，繼而可證得AE²=EF•EG．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴△ABE∽△FDE，
∴

AE

EF

=

BE

ED

；

（2）∵AD∥BC，
∴△ADE∽△GBE，
∴

EG

AE

=

BE

ED

，
∵

AE

EF

=

BE

ED

，
∴

AE

EF

=

EG

AE

，
∴AE²=EF•EG；

（3）結(jié)論AE²=EF•EG成立．
證明：在?ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，
∴△ABE∽△FDE，△ADE∽△GBE，
∴

AE

EF

=

BE

ED

，

EG

AE

=

BE

ED

，
∴

AE

EF

=

EG

AE

，
∴AE²=EF•EG．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．