Question

△ABC中，∠BAC=∠ACB．
（1）如圖，E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接CE，∠BEC的平分線交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)P．
求證：∠CPD=90°-

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∠BCE；
（2）若E是射線BA上一點(diǎn)（E不與A、B重合），連接CE，∠BEC的平分線所在直線交BC于點(diǎn)D，交CA所在直線于點(diǎn)P．∠CPD與∠BCE有什么關(guān)系？請(qǐng)畫出圖形，給出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，可得2∠CPD+∠BCE=180°，從而求解；
（2）分兩種情況：i）若點(diǎn)E在BA上（E不與A、B重合；ii）若E在BA的延長(zhǎng)線上；討論求解．

解答：（1）證明：∵EP平分∠BEC，
∴∠BEP=∠CEP．
△ACE中，∠A+∠ACE+∠AEC=180°．
∵∠ACE=∠ACB+∠BCE，且∠A=∠ACB，
∴2∠A+2∠BEP+∠BCE=180°，
∴2（∠A+∠BEP）+∠BCE=180°，
∵∠CPD=∠A+∠BEP，
∴2∠CPD+∠BCE=180°，
∴∠CPD=90°-

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2

∠BCE；

（2）結(jié)論：∠CPD=

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∠BCE．理由如下：
解：設(shè)∠CAB=∠ACB=α．
∵ED平分∠BEC，
∴∠BED=∠CED．
設(shè)∠BED=∠CED=β，則∠CEB=2β．
分兩種情況：
i）若點(diǎn)E在BA上（E不與A、B重合，如圖，
∵∠ACE=∠BEC-∠CAE，
∴∠ACE═2β-α．
∴∠BCE=∠ACB-∠ACE=α-（2β-α）=2α-2β．
∵∠CPD=∠CED-∠ACE，
∴∠CPD=β-（2β-α）=α-β，
∴∠CPD=

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2

∠BCE；
ii）若E在BA的延長(zhǎng)線上，如圖，
∵∠ACE=∠CAB-∠CEB，
∴∠ACE═α-2β，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=α+（α-2β）=2α-2β．
∵∠CPD=∠ACE+∠CEP，
∴∠CPD=α-2β+β=α-β，
∴∠CPD=

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2

∠BCE．
綜上，可知∠CPD=

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2

∠BCE．

點(diǎn)評(píng)：考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，第二問(wèn)注意分類思想的運(yùn)用，本題有一定的難度．