Question

如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，正方形OCBA的頂點A，C分別在y軸，x軸上，點B坐標(biāo)為（6，6），拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點A，B兩點，且3a-b=-1．
（1）求a，b，c的值；
（2）如果動點E，F(xiàn)同時分別從點A，點B出發(fā)，分別沿A→B，B→C運(yùn)動，速度都是每秒1個單位長度，當(dāng)點E到達(dá)終點B時，點E，F(xiàn)隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒，△EBF的面積為S．
①試求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；
②當(dāng)S取得最大值時，在拋物線上是否存在點R，使得以E，B，R，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出點R的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于四邊形OABC是正方形，易知點A的坐標(biāo)，將A、B的坐標(biāo)分別代入拋物線的解析式中，聯(lián)立3a-b=-1，即可求得待定系數(shù)的值．
（2）①用t分別表示出BE、BF的長，利用直角三角形面積公式求出△EBF的面積，從而得到關(guān)于S、t的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得S的最大值；
②當(dāng)S取最大值時，即可確定BE、BF的長，若E、B、R、F為頂點的四邊形是平行四邊形，可有兩種情況：一、EB平行且相等于FR，二、ER平行且相等于FB；只需將E點坐標(biāo)向上、向下平移BF個單位或?qū)�F點坐標(biāo)向左、向右平移BE個單位，即可得到R點坐標(biāo)，然后將它們代入拋物線的解析式中進(jìn)行驗證，找出符合條件的R點即可．

解答：解：（1）由已知A（0，6），B（6，6）在拋物線上，
得方程組

c=6 36a+6b+c=6 3a-b=-1

，（1分）
解得

a=- 1 9 b= 2 3 c=6

．（3分）

（2）①運(yùn)動開始t秒時，EB=6-t，BF=t，
S=

1

2

EB•BF=

1

2

（6-t）t=-

1

2

t²+3t，（4分）
以為S=-

1

2

t²+3t=-

1

2

（t-3）²+

9

2

，
所以當(dāng)t=3時，S有最大值

9

2

．（5分）
②當(dāng)S取得最大值時，
∵由①知t=3，
∴BF=3，CF=3，EB=6-3=3，
若存在某點R，使得以E，B，R，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形，
則FR₁=EB且FR₁∥EB，
即可得R₁為（9，3），R₂（3，3）；（6分）
或者ER₃=BF，ER₃∥BF，可得R₃（3，9）．（7分）
再將所求得的三個點代入y=-

1

9

x²+

2

3

x+6，可知只有點（9，3）在拋物線上，
因此拋物線上存在點R（9，3），使得四邊形EBRF為平行四邊形．（8分）

點評：此題主要考查了正方形的性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法、二次函數(shù)的最值、平行四邊形的判定和性質(zhì)等，同時還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度適中．