Question

（2009•寧波）已知：如圖，⊙O的直徑AB與弦CD相交于E，=，⊙O的切線BF與弦AD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F．
（1）求證：CD∥BF．
（2）連接BC，若⊙O的半徑為4，cos∠BCD=，求線段AD、CD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)=，運(yùn)用垂徑定理的推論得到AB⊥CD；根據(jù)切線的性質(zhì)定理得到AB⊥BE，從而證明平行；
（2）根據(jù)圓周角定理得到∠A=∠C．根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，得到直角△ABD．再結(jié)合銳角三角函數(shù)的概念求解．
解答：（1）證明：∵直徑AB平分，
∴AB⊥CD．
∵BF與⊙O相切，AB是⊙O的直徑，
∴AB⊥BF．
∴CD∥BF．

（2）解：連接BD，BC．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°．
在Rt△ADB中，
∵cos∠BAF=cos∠BCD=，AB=4×2=8．
∴AD=AB•cos∠BAF=8×=6．
∵AB⊥CD于E，
在Rt△AED中，cos∠BAF=cos∠BCD=，sin∠BAF=．
∴DE=AD•sin∠BAF=6×．
∵直徑AB平分，
∴CD=2DE=3．
點(diǎn)評(píng)：熟練運(yùn)用垂徑定理的推論、切線的性質(zhì)定理、圓周角定理及其推論．能夠利用銳角三角函數(shù)的知識(shí)解直角三角形．