Question

已知AC是菱形ABCD的對角線，∠BAC=60°，點E是直線BC上的一個動點，連接AE，以AE為邊作菱形AEFG，并且使∠EAG=60°，連接CG，當(dāng)點E在線段BC上時（如圖1）易證：AB=CG+CE．當(dāng)點在E線段BC的延長線上時（如圖2），猜想AB、CG、CE之間的關(guān)系并證明；當(dāng)點在E線段CB的延長線上時（如圖3），猜想AB、CG、CE之間的關(guān)系．

Answer 1

（1）AB=CG-CE
證明：∵AC是菱形ABCD的對角線且∠BAC=60°，
∴AC=AD．
∵四邊形AEFG菱形，
∴．
∵∠DAC=∠GAE=60°，
∴∠DAG=∠CAE．
在△ACE和△ADG中，
∴△ACE≌△ADG（SAS），
∴CE=DG．
∴AB=CD=CG-DG=CG-CE；

（2）AB=CE-CG．
同理可證△ACG≌△ABE，
∴BE=CG．
∴AB=CB=CE-BE=CE-CG．
分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AC=AD，AE=AG，然后證明∠DAG=∠CAE，可利用SAS證明△ACE≌△ADG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得CE=DG，再根據(jù)線段的和差關(guān)系和等量代換可得答案；
（2）方法與（1）類似可證明△ACG≌△ABE，進(jìn)而得到BE=CG，然后可得AB=CE-CG．
點評：此題主要考查了菱形的性質(zhì)，以及等邊三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握菱形的四邊相等．