Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)D在半徑OB的延長(zhǎng)線上，∠BCD=∠A=30°．
（1）試判斷直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若⊙O的半徑長(zhǎng)為1，求由弧BC、線段CD和BD所圍成的陰影部分面積．（結(jié)果保留π和根號(hào)）

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知可證得OC⊥CD，OC為圓的半徑所以直線CD與⊙O相切；
（2）根據(jù)已知可求得OC，CD的長(zhǎng)，則利用S_陰影=S_△COD-S_扇形OCB求得陰影部分的面積．
解答：解：（1）直線CD與⊙O相切，
∵在⊙O中，∠COB=2∠CAB=2×30°=60°，
又∵OB=OC，
∴△OBC是正三角形，
∴∠OCB=60°，
又∵∠BCD=30°，
∴∠OCD=60°+30°=90°，
∴OC⊥CD，
又∵OC是半徑，
∴直線CD與⊙O相切．

（2）由（1）得△OCD是Rt△，∠COB=60°，
∵OC=1，
∴CD=，
∴S_△COD=OC•CD=，
又∵S_扇形OCB=，
∴S_陰影=S_△COD-S_扇形OCB=．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)切線的性質(zhì)及扇形的面積公式的理解及運(yùn)用．