Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=13厘米，BC=10厘米，AD⊥BC于點(diǎn)D，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1厘米的速度在線段AD上向終點(diǎn)D運(yùn)動．設(shè)動點(diǎn)運(yùn)動時間為t秒．

（1）求AD的長；
（2）當(dāng)△PDC的面積為15平方厘米時，求t的值；
（3）動點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)以每秒2厘米的速度在射線CB上運(yùn)動．點(diǎn)M與點(diǎn)P同時出發(fā)，且當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到終點(diǎn)D時，點(diǎn)M也停止運(yùn)動．是否存在t，使得S_△PMD=

1

12

S_△ABC？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）∵AB=AC=13，AD⊥BC，
∴BD=CD=5cm，且∠ADB=90°，
∴AD²=AC²-CD²
∴AD=12cm．

（2）AP=t，PD=12-t，
又∵由△PDM面積為

1

2

PD×DC=15，
解得PD=6，∴t=6．

（3）假設(shè)存在t，
使得S_△PMD=

1

12

S_△ABC．
①若點(diǎn)M在線段CD上，
即 0≤t≤

5

2

時，PD=12-t，DM=5-2t，
由S_△PMD=

1

12

S_△ABC，
即

1

2

×(12-t)(5-2t)=5，
2t²-29t+50=0
解得t₁=12.5（舍去），t₂=2．（2分）
②若點(diǎn)M在射線DB上，即

5

2

≤t≤12．
由S_△PMD=

1

12

S_△ABC
得

1

2

(12-t)(2t-5)=5，
2t²-29t+70=0
解得 t1=

29+ 281

4

，t2=

29- 281

4

．（2分）
綜上，存在t的值為2或

29+ 281

4

或

29- 281

4

，使得S_△PMD=

1

12

S_△ABC．（1分）