Question

如圖△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于點D，以點D為圓心，BD為半徑作⊙D交AB于點E．
（1）求證：⊙D與AC相切；
（2）若AC=5，BC=3，試求AE的長．

Answer 1

（1）證明：過D作DF⊥AC于F，
∵∠B=90°，
∴AB⊥BC，
∵CD平分∠ACB交AB于點D，
∴BD=DF，
∴⊙D與AC相切；

（2）解：設(shè)圓的半徑為x，
∵∠B=90°，BC=3，AC=5，
∴AB==4，
∵AC，BC，是圓的切線，
∴BC=CF=3，
∴AF=AB-CF=2，
∵AB=4，
∴AD=AB-BD=4-x，
在Rt△AFD中，（4-x）²=x²+2²，
解得：x=，
∴AE=4-3=1．
分析：（1）過D作DF⊥AC于F，利用角平分線的性質(zhì)定理可得BD=FD即可證明：⊙D與AC相切；
（2）在直角三角形ABC中由勾股定理可求出AB的長，設(shè)圓的半徑為x，利用切線長定理可求出CF=BC=3，所以AF=2，AD=AB-x，利用勾股定理建立方程求出x，進(jìn)而求出AE的長．
點評：本題考查了圓的切線的判定、角平分線的性質(zhì)、切線長定理以及勾股定理的運用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理列方程．