Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，

3

），連接OA，將線段OA繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段OB．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過(guò)A、O、B三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）如果點(diǎn)P是（2）中的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且在x軸的下方，那么△PAB是否有最大面積？若有，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)及△PAB的最大面積；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（4）若反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象有一動(dòng)點(diǎn)Q，點(diǎn)Q與拋物線上的點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)M（1，t）成中心對(duì)稱(chēng)，當(dāng)以線段AB為一直角邊的△QAB為直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出相應(yīng)的反比例函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析：（1）由點(diǎn)A的坐標(biāo)可求得OA的長(zhǎng)，將線段OA繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后，恰好落在x軸上，由此得出B點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式即可．
（3）過(guò)P作y軸的平行線交線段AB于D，首先求出直線AB的解析式，結(jié)合直線和拋物線的解析式先表達(dá)出P、D點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而能得出線段PD的長(zhǎng)，以PD為底，A、B橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值為高即可求出△ABP的面積函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．
（4）欲求反比例函數(shù)的解析式，必須先求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；點(diǎn)Q、A關(guān)于M對(duì)稱(chēng)，那么點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)必為3；已知線段AB為Rt△QAB的直角邊，那么需要分兩種情況討論：
①BQ為直角邊，即BQ⊥AB，那么這兩天直線的斜率乘積為-1，即：kAB×kBQ=-1，結(jié)合點(diǎn)B的坐標(biāo)即可求出直線BQ的解析式，進(jìn)而能求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)以及反比例函數(shù)的解析式；
②AQ為直角邊，解題方法和①完全相同．

解答：解：（1）∵A（-1，

3

），
∴OA=

(-1)2+( 3 )2

=2；
∵OA繞O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得OB，
∴OB=OA=2，且B在x軸正半軸上，
∴B（2，0）．

（2）由于拋物線過(guò)原點(diǎn)，可設(shè)其解析式為y=ax²+bx，代入A（-1，

3

）、B（2，0），得：

a-b= 3 4a+2b=0

，解得

a= 3 3 b=- 2 3 3

∴拋物線的解析式為y=

3

3

x²-

2 3

3

．

（3）設(shè)P（x，

3

3

x²-

2 3

3

）（0＜x＜2），過(guò)P作PD∥y軸交線段AB于D；
設(shè)直線AB：y=kx+b（k≠0），將A（-1，

3

）、B（2，0）代入，得：

-k+b= 3 2k+b=0

，解得

k=- 3 3 b= 2 3 3

∴直線AB：y=-

3

3

x+

2 3

3

，則點(diǎn)D的坐標(biāo)（x，-

3

3

x+

2 3

3

）；
∴PD=（-

3

3

x+

2 3

3

）-（

3

3

x²-

2 3

3

）=-

3

3

x²+

3

3

x+

2 3

3

，
∴S_△APB=

1

2

×（-

3

3

x²+

3

3

x+

2 3

3

）×3=-

3

2

x²+

3

2

x+

3

；
S是關(guān)于x的二次函數(shù)，且開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸x=

1

2

在0＜x＜2的范圍內(nèi)，因此當(dāng)x=

1

2

時(shí)，△PAB的面積最大，且最大值為

9 3

8

；
此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)（

1

2

，-

3

4

）．

（4）點(diǎn)Q與拋物線上的點(diǎn)A（-1，

3

）關(guān)于點(diǎn)M（1，t）成中心對(duì)稱(chēng)，所以點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)必為3；
①BQ為Rt△QAB的直角邊時(shí)，BQ⊥AB，即：k_AB×k_BQ=-1，解得：k_BQ=

3

；
可設(shè)直線BQ：y=

3

x+b，代入B（2，0），得：b=-2

3

，
∴直線BQ：y=

3

x-2

3

，當(dāng)x=3時(shí)，y=

3

，即 Q（3，

3

）；
將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式中，得：k₁=xy=3

3

；
②AQ為Rt△AOB的直角邊時(shí)，AQ⊥AB，同①可求得：k₂=15

3

；
綜上，符合條件的反比例函數(shù)解析式為：y=

3 3

x

或y=

15 3

x

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了函數(shù)解析式的確定、直角三角形的性質(zhì)以及圖形面積的求法等重要知識(shí)；最后一題中，互相垂直的兩條直線斜率的乘積為-1，這個(gè)結(jié)論需要記��；這個(gè)小題也可以分別過(guò)A、Q作坐標(biāo)軸的垂線，通過(guò)構(gòu)建相似三角形來(lái)求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，不過(guò)這樣的計(jì)算過(guò)程會(huì)稍微復(fù)雜一些．