Question

【題目】如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC中點(diǎn)，兩邊PE，PF分別交AB，AC于點(diǎn)E，F，給出以下五個(gè)結(jié)論：①△PFA≌△PEB，②EF=AP，③△PEF是等腰直角三角形，④當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與A，B重合），S四邊形AEPF=S△ABC，上述結(jié)論中始終正確有 （　　）

A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)

Answer 1

【答案】C

【解析】∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中點(diǎn)，

∴AP⊥BC，AP=PB，

∠B=∠CAP=45°，

∵∠APF+∠FPA=90°，

∠ APF+∠BPE=90°，

∴∠APF=∠BPE，

在△BPE和△APF中，

∠B=∠CAP， BP=AP，∠BPE =∠APF，

∴△PFA≌△PEB；故①正確；

∵△ABC是等腰直角三角形點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，

∴AP=BC，

又∵EF不一定是△ABC的中位線(xiàn)，

∴EF≠AP，故結(jié)論②錯(cuò)誤；

∵△PFA≌△PEB，

∴PE=PF，

又∵∠EPF=90°，

∴△PEF是等腰直角三角形，故③正確；

∵△PFA≌△PEB，

∴S△PFA =S△PEB，

∴S四邊形AEPF=S△APE+S△APF=S△APE+S△BPE=S△APB=S△ABC，故結(jié)論④正確；

綜上，當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與A，B重合），始終正確的有3個(gè)結(jié)論.

故選：C.