Question

a，b，c是△ABC的三邊長，且關(guān)于x的方程b（x²-1）-2ax+c（x²+1）=0有兩個相等的實根，求證：這個三角形是直角三角形．

Answer 1

證明：由原方程，得
（b+c）x²-2ax-b+c=0，
∵關(guān)于x的方程b（x²-1）-2ax+c（x²+1）=0有兩個相等的實根，
∴△=4a²-4（b+c）（-b+c）=0，
即a²-c²+b²=0，
∴a²+b²=c²，
∴這個三角形是直角三角形．
分析：先將原方程化為一元二次方程的一般形式，然后根據(jù)根的判別式△=b²-4ac=0證明．
點評：此題主要考查了勾股定理的逆定理和根的判別式，需要熟記一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實數(shù)．