Question

如圖1，矩形OABC，O為原點，點E在AB上，把△CBE沿CE折疊，使點B落在OA邊上的點D處，A、D坐標分別為（10，0）和（6，0），拋物線y=

1

5

x2+bx+c過點C、B．
（1）求B點的坐標及該拋物線的解析式；
（2）如圖2，矩形PQRS的長、寬一定，點P沿（1）中的拋物線滑動，在滑動過程中PQ∥x軸，且RS在PQ的下方，當P點橫坐標為-1時，點S位于x軸上方且距離x軸

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5

個單位．當矩形PQRS在滑動過程中被x軸分成上下兩部分的面積比為2：3時，求點P的坐標；
（3）如圖3，動點M、N同時從點O出發(fā)，點M以每秒3個單位長度的速度沿線段OD運動，點N以每秒8個單位長度的速度沿折線OCD按O→C→D的路線運動，當M、N中的其中一點停止運動時，另一點也停止運動．設M、N同時從點O出發(fā)t秒時，△OMN的面積為S．求S與t的函數(shù)關系式，并寫出t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據折疊的性質可知：CD=CB，因此在已知A、D的坐標情況下，能得到CB、CD、OD的長，在Rt△OCD中，利用勾股定理即可求出OC的長，則B點坐標可求；再利用待定系數(shù)法就能求得拋物線的解析式．
（2）將點P的橫坐標-1代入（1）的拋物線解析式中即可求得點P到x軸的距離，再由“點S位于x軸上方且距離x軸

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5

個單位”即可求出PS的長；當矩形PQRS的面積被x軸分割成上2下3時，由于兩個小矩形的寬相同，所以它們的面積比等于長的比，即此時的PS被x軸分割成上2下3的情況，結合PS的長，即可得到此時點P的縱坐標，代入拋物線的解析式中就能求得點P的坐標．
（3）由于點N的運動過程為：O→C→D，所以整體要分兩個階段考慮：
①點N在線段OC上時，首先用t表達出OM、ON的長，以OM為底、ON為高，不難得到△OMN的面積S與t的函數(shù)關系式；
②點N在線段CN上時，OM的長易知，關鍵是求出OM上的高，先過點N作OD的垂線NH，由∠CDO的正弦值可求出NH的表達式，以OM為底、NH為高即可求得關于S、t的函數(shù)關系式．

解答：解：（1）由矩形OCBA得：∠COA=∠BAO=90°，OC=AB，BC=OA=10；
由△CBE沿CE翻折得到△CED，得 CD=CB=10，
由勾股定理得：OC=

CD2-OD2

=

102-62

=8，
得：C（0，8），B（10，8）；
又C、B均在y=

1

5

x2+bx+c上，代入，得：

c=8 1 5 ×100+10b+c=8

，解得

c=8 b=-2

∴y=

1

5

x2-2x+8．

（2）當x=-1時，y=

1

5

×(-1)2-2×(-1)+8，此時P(-1，

51

5

)；
又由S距離x軸上方

11

5

個單位，得：PS=

51

5

-

11

5

=8，∴矩形PQRS的長為8．
設PQRS在下滑過程中交x軸分別于G、H兩點．
則由題意知：

S矩形PQHG

S矩形HGSR

=

2

3

，即

PG

GS

=

2

3

∴PG=

2

5

PS=

16

5

；
故P的縱坐標為

16

5

，設P(a，

16

5

)，則：

1

5

a2-2a+8=

16

5

，得：a₁=4，a₂=6
∴P(4，

16

5

)或(6，

16

5

)．

（3）①當0≤t≤1時，此時M在OD上，N在OC上．
∴S△MON=

1

2

OM•ON=

1

2

×3t×8t=12t2；
②當1＜t≤2時，此時M在OD上，N在CD上．則DN=18-8t
過N作NH⊥OD于H，則

NH

ND

=

OC

CD

=

4

5

，得：
NH=

4

5

DN=

4

5

(18-8t)=

8

5

(9-4t)
∴S△ONM=

1

2

•NH•OM=

1

2

×

8

5

(9-4t)•3t=-

48

5

t2+

108

5

t；
綜上，S=

12t2(0＜t≤1) - 48 5 t2+ 108 5 t(1＜t≤2)

．

點評：題目的敘述和給出的圖形看起來較為復雜，但通過讀題后可以發(fā)現(xiàn)題目的難度并不大；（1）題中，利用好折疊圖形的特點是關鍵；（2）題中，只要求出PS的長題目也就解了一大半；最后一題求的是分段函數(shù)，三角形面積的求法應熟練掌握，在對自變量進行分段時，要注意抓住“關鍵點”（即點N、C重合時），這在解答此類題目時是通用的方法．