Question

已知2¹=2，2²=4，2³=8，2⁴=16，2⁵=32，2⁶=64，2⁷=128，2⁸=256…
（1）你能根據(jù)此推測出2⁶⁴的個(gè)位數(shù)字是多少？
（2）根據(jù)上面的結(jié)論，結(jié)合計(jì)算，試說明（2-1）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2³²+1）的個(gè)位數(shù)字是多少？

Answer 1

解：（1）∵2⁶⁴=（2⁴）¹⁶，
∴2⁶⁴的個(gè)位數(shù)字是6；

（2）∵（2-1）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2³²+1）
=（2²-1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2³²+1）
=（2⁴-1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2³²+1）…
=（2³²-1）（2³²+1）
=2⁶⁴-1，
∴（2-1）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2³²+1）的個(gè)位數(shù)字是5．
分析：（1）由已知的一系列等式結(jié)果中個(gè)位數(shù)字規(guī)律，得到指數(shù)為4的倍數(shù)其個(gè)位數(shù)字都為6，利用冪的乘方運(yùn)算法則將所求式子變形后，即可得到其個(gè)位數(shù)字為6；
（2）前兩項(xiàng)利用平方差公式化簡，再利用平方差公式化簡，依此類推得到所求式子結(jié)果為2⁶⁴-1，由（1）得出2⁶⁴個(gè)位數(shù)字為6，即可得到所求式子個(gè)位數(shù)字為5．
點(diǎn)評：此題考查了整式的混合運(yùn)算，屬于規(guī)律型題，弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．