已知:如圖,直角坐標(biāo)系內(nèi)的梯形AOBC,AC∥OB,AC、OB的長(zhǎng)分別是關(guān)于x的方程x2-6mx+m2+4=0的兩根,并且S△AOC:S△BOC=1:5.
(1)求AC、OB的長(zhǎng);
(2)當(dāng)BC⊥OC時(shí),求OC的長(zhǎng)及OC所在直線(xiàn)的解析式;
(3)在第(2)問(wèn)的條件下,線(xiàn)段OC上是否存在一點(diǎn)M,過(guò)M點(diǎn)作x軸的平行線(xiàn),交y軸于F,交BC于D,過(guò)D點(diǎn)作y軸的平行線(xiàn),交x軸于點(diǎn)E,使S矩形FOED=數(shù)學(xué)公式S梯形AOBC?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出M點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.

解:(1)∵S△AOC:S△BOC=1:5
∴AC:OB=1:5
不妨設(shè)AC=k,OB=5k
由題意得
解得(不合題意,舍去)
∴AC=1,OB=5;

(2)∵∠OAC=∠BCO=90°,∠ACO=∠BOC
∴△OBC∽△COA
,OC2=OB•AC
∴OC=或OC=-(舍去)
∵AC=1,∴AO=2
∴C(1,2)
∴直線(xiàn)OC的解析式為y=2x;

(3)存在,M()或(,1).
分析:(1)根據(jù)等高三角形的面積等于底邊比,可得出AC:OB=1:5.而AC、OB又是方程x2-6mx+m2+4=0的兩根,可根據(jù)韋達(dá)定理得出AC、OB的和與積的值,然后聯(lián)立AC、OB的比例關(guān)系式可求出AC、OB的長(zhǎng);
(2)本題要通過(guò)相似三角形求解.如果BC⊥OC,那么∠AOC和∠OBC就同為∠COB的余角,因此兩角相等,可得出△OBC∽△COA,根據(jù)相似三角形得出的OC2=AC•OB,可求出OC的長(zhǎng).進(jìn)而可在直角三角形OAC中,求出OA的長(zhǎng),已知了AC的長(zhǎng),也就得出了C點(diǎn)的坐標(biāo).可用待定系數(shù)法求出OC所在直線(xiàn)的解析式;
(3)先求出矩形FDEO的面積S與OE的長(zhǎng)a的函數(shù)關(guān)系式,易知直線(xiàn)BC的解析式為y=-x+,那么DE=-a+,因此S=OE•DE=-a2+a,易求得梯形AOBC的面積為6,因此S=-a2+a=3,解得a=2或3,當(dāng)a=2時(shí),DE=-×2+=,即M點(diǎn)縱坐標(biāo)為,代入直線(xiàn)OC的解析式中可得M(,-),同理可求得當(dāng)a=3時(shí),M(,1).
點(diǎn)評(píng):本題考查的是一次函數(shù)的綜合運(yùn)用以及三角形,梯形的性質(zhì),難度中等.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知:如圖(1),在平面直角坐標(biāo)xOy中,邊長(zhǎng)為2的等邊△OAB的頂點(diǎn)B在第一象限,頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上.另一等腰△OCA的頂點(diǎn)C在第四象限,OC=AC,∠C=120°.現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、O兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度沿OC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P以每秒3個(gè)單位的速度沿A→O→B運(yùn)動(dòng),當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)也隨即停止.
(1)求在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中形成的△OPQ的面積S與運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系,并寫(xiě)出自變量t的取值范圍;
(2)在等邊△OAB的邊上(點(diǎn)A除外)存在點(diǎn)D,使得△OCD為等腰三角形,請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)如圖(2),現(xiàn)有∠MCN=60°,其兩邊分別與OB、AB交于點(diǎn)M、N,連接MN.將∠MCN繞著C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)(0°<旋轉(zhuǎn)角<60°),使得M、N始終在邊OB和邊AB上.試判斷在這一過(guò)程中,△BMN的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化?若沒(méi)有變化,請(qǐng)求出其周長(zhǎng);若發(fā)生變化,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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已知:如圖(1),在平面直角坐標(biāo)xOy中,邊長(zhǎng)為2的等邊△OAB的頂點(diǎn)B在第一象限,頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上.另一等腰△OCA的頂點(diǎn)C在第四象限,OC=AC,∠C=120°.現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、O兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度沿OC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P以每秒3個(gè)單位的速度沿A→O→B運(yùn)動(dòng),當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)也隨即停止.
(1)求在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中形成的△OPQ的面積S與運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系,并寫(xiě)出自變量t的取值范圍;
(2)在等邊△OAB的邊上(點(diǎn)A除外)存在點(diǎn)D,使得△OCD為等腰三角形,請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)如圖(2),現(xiàn)有∠MCN=60°,其兩邊分別與OB、AB交于點(diǎn)M、N,連接MN.將∠MCN繞著C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)(0°<旋轉(zhuǎn)角<60°),使得M、N始終在邊OB和邊AB上.試判斷在這一過(guò)程中,△BMN的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化?若沒(méi)有變化,請(qǐng)求出其周長(zhǎng);若發(fā)生變化,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013年重慶市涪陵二中中考數(shù)學(xué)模擬試卷(二)(解析版) 題型:解答題

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(1)求在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中形成的△OPQ的面積S與運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系,并寫(xiě)出自變量t的取值范圍;
(2)在等邊△OAB的邊上(點(diǎn)A除外)存在點(diǎn)D,使得△OCD為等腰三角形,請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)如圖(2),現(xiàn)有∠MCN=60°,其兩邊分別與OB、AB交于點(diǎn)M、N,連接MN.將∠MCN繞著C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)(0°<旋轉(zhuǎn)角<60°),使得M、N始終在邊OB和邊AB上.試判斷在這一過(guò)程中,△BMN的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化?若沒(méi)有變化,請(qǐng)求出其周長(zhǎng);若發(fā)生變化,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012年5月中考數(shù)學(xué)模擬試卷(48)(解析版) 題型:解答題

已知:如圖(1),在平面直角坐標(biāo)xOy中,邊長(zhǎng)為2的等邊△OAB的頂點(diǎn)B在第一象限,頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上.另一等腰△OCA的頂點(diǎn)C在第四象限,OC=AC,∠C=120°.現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、O兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度沿OC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P以每秒3個(gè)單位的速度沿A→O→B運(yùn)動(dòng),當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)也隨即停止.
(1)求在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中形成的△OPQ的面積S與運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系,并寫(xiě)出自變量t的取值范圍;
(2)在等邊△OAB的邊上(點(diǎn)A除外)存在點(diǎn)D,使得△OCD為等腰三角形,請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)如圖(2),現(xiàn)有∠MCN=60°,其兩邊分別與OB、AB交于點(diǎn)M、N,連接MN.將∠MCN繞著C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)(0°<旋轉(zhuǎn)角<60°),使得M、N始終在邊OB和邊AB上.試判斷在這一過(guò)程中,△BMN的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化?若沒(méi)有變化,請(qǐng)求出其周長(zhǎng);若發(fā)生變化,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010年全國(guó)中考數(shù)學(xué)試題匯編《三角形》(12)(解析版) 題型:解答題

(2010•重慶)已知:如圖(1),在平面直角坐標(biāo)xOy中,邊長(zhǎng)為2的等邊△OAB的頂點(diǎn)B在第一象限,頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上.另一等腰△OCA的頂點(diǎn)C在第四象限,OC=AC,∠C=120°.現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、O兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度沿OC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P以每秒3個(gè)單位的速度沿A→O→B運(yùn)動(dòng),當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)也隨即停止.
(1)求在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中形成的△OPQ的面積S與運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系,并寫(xiě)出自變量t的取值范圍;
(2)在等邊△OAB的邊上(點(diǎn)A除外)存在點(diǎn)D,使得△OCD為等腰三角形,請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)如圖(2),現(xiàn)有∠MCN=60°,其兩邊分別與OB、AB交于點(diǎn)M、N,連接MN.將∠MCN繞著C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)(0°<旋轉(zhuǎn)角<60°),使得M、N始終在邊OB和邊AB上.試判斷在這一過(guò)程中,△BMN的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化?若沒(méi)有變化,請(qǐng)求出其周長(zhǎng);若發(fā)生變化,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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