Question

如圖，已知⊙O中，OA=2，AC是⊙O的直徑，AC⊥BD于E，∠A=30°．
（1）求BD的長(zhǎng)；
（2）求圓中陰影部分的面積．
（3）若用陰影部分扇形OBD圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，請(qǐng)求出這個(gè)圓錐的底面圓的半徑．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)AC是⊙O的直徑，AC⊥BD于E可知BD=2BE，再由∠A=30°可知，∠ABD=60°，由于OA=OB=2，所以∠ABO=∠A=30°，∠OBE=30°，在Rt△OBE中由銳角三角函數(shù)的定義可得出BE的長(zhǎng)，進(jìn)而得出BD的長(zhǎng)；
（2）先由圓周角定理得出∠BOC的度數(shù)，再根據(jù)AC⊥BD可知

BC

=

CD

，故可得出∠BOD的度數(shù)，由扇形的面積公式即可得出結(jié)論；
（3）設(shè)這個(gè)圓錐的底面圓的半徑為r，根據(jù)底面周長(zhǎng)=

BD

的長(zhǎng)即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵AC是⊙O的直徑，AC⊥BD于E，
∴BD=2BE，
∵∠A=30°，
∴∠ABD=60°，
∵OA=OB=2，
∴∠ABO=∠A=30°，∠OBE=30°，
∴BE=OB•cos30°=2×

3

2

=

3

，
∴BD=2BE=2

3

；

（2）∵∠A=30°，
∴∠BOC=60°
∵AC⊥BD，
∴

BC

=

CD

，
∴∠BOD=2∠BOC=120°，
∴S_陰影=

120π×52

360

=

25π

3

；

（3）設(shè)這個(gè)圓錐的底面圓的半徑為r，則2πr=

120×π×5

180

，解得r=

5

3

．
答：這個(gè)圓錐的底面圓的半徑為

5

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是垂徑定理，涉及到扇形的面積公式、弧長(zhǎng)公式及直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，難度適中．