Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，以線段AP為一邊，在其一側(cè)作等邊三角線APQ．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)O處時(shí)，記Q得位置為B．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求證：當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)（P不與O重合）時(shí)，∠ABQ為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)題意作輔助線過點(diǎn)B作BC⊥y軸于點(diǎn)C，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，
（2）根據(jù)∠PAQ=∠OAB=60°，可知∠PAO=∠QAB，得出△APO≌△AQB總成立，得出當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)（P不與Q重合）時(shí)，∠ABQ為定值90°．

解答：（1）解：過點(diǎn)B作BC⊥y軸于點(diǎn)C，
∵A（0，2），△AOB為等邊三角形，
∴AB=OB=2，∠BAO=60°，
∴BC=

3

，OC=AC=1，
即B（

3

，1）；

（2）證明：當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)（P不與O重合）時(shí)，不失一般性，
∵∠PAQ=∠OAB=60°，
∴∠PAO=∠QAB，
在△APO和△AQB中，

AP=AQ  ∠PAO=∠QAB  AO=AB

，
∴△APO≌△AQB（SAS），
∴∠ABQ=∠AOP=90°總成立，
∴當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)（P不與O重合）時(shí)，∠ABQ為定值90°．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定及性質(zhì)，難度適中．