Question

如圖，正方形ABCD與正方形BEFG有公共頂點(diǎn)B，點(diǎn)G在邊BC上，AG的延長(zhǎng)線交CE于點(diǎn)H，連接BH．
（1）求證：∠BAG=∠BCE；
（2）若AB=2BG，求的值；
（3）若AB=kBG，直接寫(xiě)出的值（用含k的代數(shù)式表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由四邊形ABCD與BEFG是正方形，可得AB=CB，∠ABC=∠CBE=90°，GB=EB，然后由SAS即可判定△ABG≌△BCE，則可證得：∠BAG=∠BCE；
（2）由（1）易得△AHE是直角三角形，△AGB∽△CGH，繼而可得△BGH∽△AGC，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可得BH•AG=AC•BG，又由在Rt△AHE和Rt△ABG中，cosHAE==，可得AH•AG=AB•AE，則可求得=，又由AB=2BG，即可求得的值；
（3）由（2）可得=，又由AB=kBG，即可求得的值．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD與BEFG是正方形，
∴AB=CB，∠ABC=∠CBE=90°，GB=EB，
在△ABG和△BCE中，
∵，
∴△ABG≌△BCE（SAS），
∴∠BAG=∠BCE；

（2）連接AC，
∵由（1）得：∠BAG=∠BCE，
∴∠BAG+∠BEH=∠BCE+∠BEH=180°-∠CBE=90°，
∴∠AHE=180°-（∠BAG+∠BEH）=90°
∵∠AGB=∠CGH，
∴△AGB∽△CGH，
∴，
∴，
∵∠BGH=∠AGC，
∴△BGH∽△AGC，
∴，
即BH•AG=AC•BG，
在Rt△AHE和Rt△ABG中，
∵cosHAE==，
∴AH•AG=AB•AE，
∴=，
∴=，
∵AB=2BG，
∴==；

（3）由（2）得：=，
∵AB=kBG，
∴∴==．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)的定義．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法是解此題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．