Question

已知關于x的方程（k-3）x²+kx+1=0：
（1）求證不論k取何值，方程總有實數(shù)根；?
（2）當k=4時，設該方程的兩個實數(shù)根為α、β，求作一個以

α2+1

β2+1

和

β2+1

α2+1

為根的一元二次方程．

Answer 1

分析：（1）利用一元二次方程根的判別式即可證明；
（2）利用根與系數(shù)的關系把所求代數(shù)式化簡，然后再利用根與系數(shù)的關系解答．

解答：解：（1）∵△=k²-4（k-3）=k²-4k+12=（k-2）²+8＞0，
∴不論k取何值，方程總有實數(shù)根；

（2）依題意得α+β=-4，αβ=1，
以

α2+1

β2+1

和

β2+1

α2+1

為根的一元二次方程為y²-（

α2+1

β2+1

+

β2+1

α2+1

）y+

α2+1

β2+1

×

β2+1

α2+1

=0-----①，
當k=4時，原方程可化為x²+4x+1=0，
α、β為x²+4x+1=0的根，
所以α²+1=-4α，β²+1=-4β，
代入①得，y²-（

-4α

-4β

+

-4β

-4α

）y+1=0，
化為y²-（

α

β

+

β

α

）y+1=0，
∴y²-[

(α+β)2-2αβ

αβ

]y+1=0，
因為x²+4x+1=0兩個實數(shù)根為α、β，所以α+β=-4，αβ=1，
代入y²-[

(α+β)2-2αβ

αβ

]y+1=0可化為y²+14y+1=0．

點評：解答此題要知道一元二次方程根的情況與判別式△的關系和一元二次方程根與系數(shù)的關系：一元二次方程總有實數(shù)根即判別式△≥0，已知方程的兩根構造一元二次方程是中考中經(jīng)常出現(xiàn)的題目，需要首先求得兩根的和與兩根的積，正確對兩根的和與兩根的積進行變形是解決本題的關鍵．