Question

如圖，在⊙O中，直徑AB⊥CD，垂足為E，點(diǎn)M在OC上，AM的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)G，交過C的直線于F，∠1=∠2，連結(jié)CB與DG交于點(diǎn)N．
（1）求證：CF是⊙O的切線；
（2）求證：△ACM∽△DCN；
（3）若點(diǎn)M是CO的中點(diǎn)，⊙O的半徑為4，cos∠BOC=，求BN的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)切線的判定定理得出∠1+∠BCO=90°，即可得出答案；
（2）利用已知得出∠3=∠2，∠4=∠D，再利用相似三角形的判定方法得出即可；
（3）根據(jù)已知得出OE的長(zhǎng)，進(jìn)而利用勾股定理得出EC，AC，BC的長(zhǎng)，即可得出CD，利用（2）中相似三角形的性質(zhì)得出NB的長(zhǎng)即可．
解答：（1）證明：∵△BCO中，BO=CO，
∴∠B=∠BCO，
在Rt△BCE中，∠2+∠B=90°，
又∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BCO=90°，
即∠FCO=90°，
∴CF是⊙O的切線；
        
（2）證明：∵AB是⊙O直徑，
∴∠ACB=∠FCO=90°，
∴∠ACB-∠BCO=∠FCO-∠BCO，
即∠3=∠1，
∴∠3=∠2，
∵∠4=∠D，
∴△ACM∽△DCN；
                            
（3）解：∵⊙O的半徑為4，即AO=CO=BO=4，
在Rt△COE中，cos∠BOC=，
∴OE=CO•cos∠BOC=4×=1，
由此可得：BE=3，AE=5，由勾股定理可得：
CE===，
AC===2，
BC===2，
∵AB是⊙O直徑，AB⊥CD，
∴由垂徑定理得：CD=2CE=2，
∵△ACM∽△DCN，
∴=，
∵點(diǎn)M是CO的中點(diǎn)，CM=AO=×4=2，
∴CN===，
∴BN=BC-CN=2-=．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及切線的判定和勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，根據(jù)已知得出△ACM∽△DCN是解題關(guān)鍵．