Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，，E是OB的中點，連接CE并延長到點F，使EF=CE．連接AF交⊙O于點D，連接BD，BF．

（1）求證：直線BF是⊙O的切線；

（2）若OB=2，求BD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BD=．

【解析】（1）連接OC，由已知可得∠BOC=90°，根據(jù)SAS證明△OCE≌△BFE，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等可得∠OBF=∠COE=90°，繼而可證明直線BF是⊙O的切線；

（2），由（1）的全等可知BF=OC=2，利用勾股定理求出AF的長，然后由S△ABF=，即可求出BD=．

（1）連接OC，

∵AB是⊙O的直徑，，∴∠BOC=90°，

∵E是OB的中點，∴OE=BE，

在△OCE和△BFE中，

，

∴△OCE≌△BFE（SAS），

∴∠OBF=∠COE=90°，

∴直線BF是⊙O的切線；

（2）∵OB=OC=2，由（1）得：△OCE≌△BFE，

∴BF=OC=2，

∴AF=，

∴S△ABF=，

即4×2=2BD，

∴BD=．