Question

如圖，在⊙O中，直徑AB垂直于弦CD，垂足為點E，點F在AC上從A點向C點運動（點A、C除外），AF與DC的延長線相交于點M．
（1）求證：△AFD∽△CFM；
（2）點F在運動中是否存在一個位置使△FMD為等腰三角形？若存在，給予證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵AB是直徑，CD是弦，CD⊥AB，
∴=．
∴∠ADC=∠AFD．
又∵四邊形AFCD內(nèi)接于⊙O，∠FCM=∠FAD，∠CFM=∠ADC，
∴∠AFD=∠CFM．
∴△AFD∽△CFM；

（2）存在，當(dāng)點F運動到弧AC的中點時，△FMD為等腰三角形．
證明：當(dāng)點F在AC中點時，∠ADF=∠CDF，
又由（1）△AFD∽△CFM，
∴∠M=∠ADF．
∴∠M=∠CDF．
∴FD=FM，即△FMD為等腰三角形．
分析：（1）證△AFD∽△CFM，需找出兩組對應(yīng)角相等；根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，易求得∠MCF=∠FAD，∠MFC=∠MDA．因此還需找出一組對應(yīng)角相等．已知直徑AB⊥CD，根據(jù)垂徑定理知：弧AC=弧AD，可得∠MDA=∠MFC，即∠MFC=∠AFD，由此得證；
（2）由（1）知∠M=∠ADF，要使△FMD為等腰三角形，則必須有∠M=∠FDC，因此只要∠FDC=∠ADF即可，這就要求F必須運動到弧AC的中點．
點評：解此題的關(guān)鍵是把點的運動抽象到相似三角形中來考慮，培養(yǎng)同學(xué)的推理能力，難易程度適中．