Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45⁰，P是BC邊上一點(diǎn)，△PAD的面積為，設(shè)AB=x，AD=y。

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若∠APD=45⁰，當(dāng)y=1時，求PB·PC的值；

（3）若∠APD=90⁰，求y的最小值。

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）2（3）

【解析】解：（1）如圖，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，

∵AB=x，∠B=45⁰，∴。

又∵AD=y，△PAD的面積為，

∴ ，即。

∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為。

（2）∵四邊形ABCD是等腰梯形， AD=y=1，∴∠B=∠C，AB=DC=。

∵∠B＋∠1＋∠4=180⁰，∠1＋∠2＋∠3=180⁰，

∴∠B＋∠4=∠2＋∠3。

∵∠B=45⁰，∠2=∠APD=45⁰，∴∠4=∠3。

∴△BPA∽△CDP�！�。

∴。

（3）如圖，過AD的中點(diǎn)為圓心，AD為半徑畫圓，交BC于點(diǎn)P，則∠APD=90⁰，連接OP，過點(diǎn)O作OF⊥BC于點(diǎn)F，

∵AD∥BC，∴四邊形AEFO是矩形。

∴。

又OP=，設(shè)PF=t，則，即。

設(shè)，則，（負(fù)值舍去）。

∴根據(jù)偶次冪和算術(shù)平方根的非負(fù)性質(zhì)，當(dāng)時，最小，最小值為2。

∴的最小值為。

（1）依題設(shè)，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，用x表示出△PAD的AD邊上的高，即可由△PAD的面積

為列式得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式。

（2）證明△BPA∽△CDP即可得到PB·PC的值。

（3）由∠APD=90⁰，根據(jù)直徑所對圓周角是直角的性質(zhì)，過AD的中點(diǎn)為圓心，AD為半徑畫圓，交BC于點(diǎn)P，則∠APD=90⁰，連接OP，過點(diǎn)O作OF⊥BC于點(diǎn)F，設(shè)PF=t，應(yīng)用勾股定理得，化簡，解方程，根據(jù)偶次冪和算術(shù)平方根的非負(fù)性質(zhì)，求得結(jié)果。