(1)已知實數(shù)x、y滿足(x2+y2)(x2-1+y2)=12,則x2+y2的值為
4
4

(2)已知方程x2-5x+2=0的一根為a,那么a+
2
a
的值為
5
5

(3)已知關(guān)于x的方程x2-
2k+4
x+k=0有兩個不相等的實數(shù)解,化簡|-k-2|+
k2-4k+4
=
4
4

(4)已知一直角三角形的三邊為a、b、c,∠B=90°,那么關(guān)于x的方程a(x2-1)-2cx+b(x2+1)=0的根的情況為
方程有兩個相等的實數(shù)根
方程有兩個相等的實數(shù)根

(5)如果關(guān)于x的方程(m-2)x2-2(m-1)x+m=0只有一個實數(shù)根,那么方程mx2-(m+2)x+(4-m)=0的根的情況是
方程有兩個相等的實數(shù)根
方程有兩個相等的實數(shù)根
分析:(1)把(x2+y2)看成一個整體,然后利用因式分解法解方程;
(2)把x=a代入已知方程,再在方程的兩邊同時除以a,然后來求代數(shù)式的值;
(3)由根的判別式求得k的取值范圍,然后去絕對值和化簡二次根式;
(4)根據(jù)直角三角形的勾股定理求得關(guān)于x的方程a(x2-1)-2cx+b(x2+1)=0的根的判別式的符號;
(5)需要分類討論:①由關(guān)于x的方程(m-2)x2-2(m-1)x+m=0只有一個實數(shù)根,則它為一元一次方程,所以m-2=0,即m=2;把m=2代入方程mx2-(m+2)x+(4-m)=0得2x2-4x+2=0,并且可計算出△=0,由此可判斷根的情況;
②當(dāng)m-2≠0時,根據(jù)關(guān)于x的方程(m-2)x2-2(m-1)x+m=0的根的判別式求得m的值;然后再來判定方程mx2-(m+2)x+(4-m)=0的根的情況.
解答:解:(1)∵(x2+y2)(x2-1+y2)=12,
∴(x2+y22-(x2+y2)-12=0,
即(x2+y2-4)(x2+y2+3)=0,
∴x2+y2=4;
故填:4;

(2)∵方程x2-5x+2=0的一根為a,
∴a2-5a+2=0,
∴a+
2
a
-5=0,
即a+
2
a
=5;
故填:5;

(3)∵關(guān)于x的方程x2-
2k+4
x+k=0有兩個不相等的實數(shù)解,
∴△=(-
2k+4
2-4×1×k=2k+4-4k=-2k+4>0,
∴k<2,
∴原式=k+2+2-k=4;

(4)∵一直角三角形的三邊為a、b、c,∠B=90°,
∴a2+c2=b2,
∵a(x2-1)-2cx+b(x2+1)=0,
即(a+b)x2-2cx+b-a)=0,
∴△=(-2c)2-4×(a+b)(a-b)=4(c2-a2-b2)=0,
∴方程有兩個相等的實數(shù)根;
故填:方程有兩個相等的實數(shù)根;

(4)①當(dāng)m-2=0,即m=2時,方程mx2-(m+2)x+(4-m)=0變?yōu)椋?x2-4x+2=0,
△=42-4×2×2=0,
所以方程有兩個相等的實數(shù)根;
②當(dāng)m-2≠0時,關(guān)于x的方程(m-2)x2-2(m-1)x+m=0的根的判別式為:
1=4(m-1)2-4(m-2)m=4>0,
關(guān)于x的方程(m-2)x2-2(m-1)x+m=0有2個不相等是實數(shù)根,
與已知矛盾.
故填:方程有兩個相等的實數(shù)根.
點評:本題考查了根的判別式、勾股定理、一元二次方程的解定義等知識點.
總結(jié):一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系:
(1)△>0?方程有兩個不相等的實數(shù)根;
(2)△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根;
(3)△<0?方程沒有實數(shù)根.
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