已知AB是⊙O的直徑,C是⊙O上一點(不與A、B重合),過點C作⊙O的切線CD,過A作CD的垂線,垂足是M點.
(1)如圖1,若CD∥AB,求證:AM是⊙O的切線.
(2)如圖2,若AB=6,AM=4,求AC的長.

解:(1)證明:連接OC.
∵CD是⊙O的切線,
∴OC⊥CD.∴∠OCM=90°.
∵CD∥AB,
∴∠OCM+∠COA=180°.
∵AM⊥CD,
∴∠AMC=90°.
∴在四邊形OAMC中∠OAM=90°.
∵OA為⊙O的半徑,
∴AM是⊙O的切線.

(2)連接OC,BC.
∵CD是⊙O的切線,
∴OC⊥CD.
∴∠OCM=90°.
∵AM⊥CD,
∴∠AMC=90°.
∴OC∥AM.
∴∠1=∠3.
∵OA=OC,
∴∠3=∠2.即∠BAC=∠CAM.
易知∠ACB=90°,
∴△BAC∽△CAM.

即AC2=AB•AM=24.

分析:(1)連接OC,由CD是⊙O的切線,得出OC⊥CD,∠OCM=90°.再由CD∥AB,得出∠OCM+∠COA=180°.又知AM⊥CD,得到∠AMC=90°.在四邊形OAMC中∠OAM=90°.又知OA為⊙O的半徑,從而得到AM是⊙O的切線.
(2)連接OC,BC.因為CD是⊙O的切線,所以OC⊥CD,∠OCM=90°.再由AM⊥CD,得到∠AMC=90°,OC∥AM,∠1=∠2.然后由OA=OC,得出∠3=∠2.即∠BAC=∠CAM.又因為AB是直徑,所以∠ACB=90°,證得△BAC∽△CAM.所以.即AC2=AB•AM=24.從而解得
點評:本題考查了切線的判斷與性質以及相似三角形的判定和性質,此題難度適中,但比較繁瑣,一定要細心才行,不然很容易出錯.
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3
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(2)若OB=2,OP=
72
,求BC的長.

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(2)點E是
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EC
=
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.給出下列結論:
①BA⊥DA;②OC∥AE;③OD⊥AC;④∠EAC=
1
4
∠EOB.
其中正確的結論有
①②④
①②④
.(把你認為正確的結論的序號都填上)

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