如圖,在直角體系中,直線AB交x軸于點A(5,0),交y軸于點B,AO是⊙M的直徑,其半圓交AB于點C,且AC=3。取BO的中點D,連接CD、MD和OC。
(1)求證:CD是⊙M的切線;
(2)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點D、M、A,其對稱軸上有一動點P,連接PD、PM,求△PDM的周長最小時點P的坐標;
(3)在(2)的條件下,當△PDM的周長最小時,拋物線上是否存在點Q,使?若存在,求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由。
解:(1)證明:連接CM,
∵OA 為⊙M直徑,∴∠OCA=90°。∴∠OCB=90°。
∵D為OB中點,∴DC=DO。∴∠DCO=∠DOC。
∵MO=MC,∴∠MCO=∠MOC。
∴。
又∵點C在⊙M上,∴DC是⊙M的切線。
(2)∵A點坐標(5,0),AC=3
∴在Rt△ACO中,。
∴,∴
,解得
。
又∵D為OB中點,∴。∴D點坐標為(0,
)。
連接AD,設直線AD的解析式為y=kx+b,則有
解得
。
∴直線AD為。
∵二次函數(shù)的圖象過M(,0)、A(5,0),
∴拋物線對稱軸x=。
∵點M、A關于直線x=對稱,設直線AD與直線x=
交于點P,
∴PD+PM為最小。
又∵DM為定長,∴滿足條件的點P為直線AD與直線x=的交點。
當x=時,
。
∴P點的坐標為(,
)。
(3)存在。
∵,
又由(2)知D(0,),P(
,
),
∴由,得
,解得yQ=±
。
∵二次函數(shù)的圖像過M(0,)、A(5,0),
∴設二次函數(shù)解析式為,
又∵該圖象過點D(0,),∴
,解得a=
。
∴二次函數(shù)解析式為。
又∵Q點在拋物線上,且yQ=±。
∴當yQ=時,
,解得x=
或x=
;
當yQ=時,
,解得x=
。
∴點Q的坐標為(,
),或(
,
),或(
,
)。
【解析】
試題分析:(1)連接CM,可以得出CM=OM,就有∠MOC=∠MCO,由OA為直徑,就有∠ACO=90°,D為OB的中點,就有CD=OD,∠DOC=∠DCO,由∠DOC+∠MOC=90°就可以得出∠DCO+∠MCO=90°而得出結論。
(2)根據(jù)條件可以得出和
,從而求出OB的值,根據(jù)D是OB的中點就可以求出D的坐標,由待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式,求出對稱軸,根據(jù)軸對稱的性質連接AD交對稱軸于P,先求出AD的解析式就可以求出P的坐標。
(3)根據(jù),
求出Q的縱坐標,求出二次函數(shù)解析式即可求得橫坐標。
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
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科目:初中數(shù)學 來源:2013年四川省達州市高級中等學校招生考試數(shù)學 題型:044
如圖,在直角體系中,直線AB交x軸于點A(5,0),交y軸于點B,AO是⊙M的直徑,其半圓交AB于點C,且AC=3.取BO的中點D,連接CD、MD和OC.
(1)求證:CD是⊙M的切線;
(2)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點D、M、A,其對稱軸上有一動點P,連接PD、PM,求△PDM的周長最小時點P的坐標;
(3)在(2)的條件下,當△PDM的周長最小時,拋物線上是否存在點Q,使?若存在,求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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