如圖,在直角體系中,直線AB交x軸于點A(5,0),交y軸于點B,AO是⊙M的直徑,其半圓交AB于點C,且AC=3。取BO的中點D,連接CD、MD和OC。

(1)求證:CD是⊙M的切線;

(2)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點D、M、A,其對稱軸上有一動點P,連接PD、PM,求△PDM的周長最小時點P的坐標;

(3)在(2)的條件下,當△PDM的周長最小時,拋物線上是否存在點Q,使?若存在,求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由。

 

【答案】

解:(1)證明:連接CM,    

∵OA 為⊙M直徑,∴∠OCA=90°。∴∠OCB=90°。

∵D為OB中點,∴DC=DO。∴∠DCO=∠DOC。

∵MO=MC,∴∠MCO=∠MOC。

。

又∵點C在⊙M上,∴DC是⊙M的切線。

(2)∵A點坐標(5,0),AC=3

∴在Rt△ACO中,。

,∴,解得

又∵D為OB中點,∴。∴D點坐標為(0,)。

連接AD,設直線AD的解析式為y=kx+b,則有

解得。

∴直線AD為。

∵二次函數(shù)的圖象過M(,0)、A(5,0),

∴拋物線對稱軸x=。

∵點M、A關于直線x=對稱,設直線AD與直線x=交于點P,

∴PD+PM為最小。

又∵DM為定長,∴滿足條件的點P為直線AD與直線x=的交點。

當x=時,。

∴P點的坐標為()。

(3)存在。

又由(2)知D(0,),P(,),

∴由,得,解得yQ。

∵二次函數(shù)的圖像過M(0,)、A(5,0),

∴設二次函數(shù)解析式為,

又∵該圖象過點D(0,),∴,解得a=。

∴二次函數(shù)解析式為。

又∵Q點在拋物線上,且yQ

∴當yQ=時,,解得x=或x=

當yQ=時,,解得x=。

∴點Q的坐標為(),或(),或(,)。

【解析】

試題分析:(1)連接CM,可以得出CM=OM,就有∠MOC=∠MCO,由OA為直徑,就有∠ACO=90°,D為OB的中點,就有CD=OD,∠DOC=∠DCO,由∠DOC+∠MOC=90°就可以得出∠DCO+∠MCO=90°而得出結論。

(2)根據(jù)條件可以得出,從而求出OB的值,根據(jù)D是OB的中點就可以求出D的坐標,由待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式,求出對稱軸,根據(jù)軸對稱的性質連接AD交對稱軸于P,先求出AD的解析式就可以求出P的坐標。

(3)根據(jù),求出Q的縱坐標,求出二次函數(shù)解析式即可求得橫坐標。

 

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