Question

如圖1，拋物線(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)C（1，4），交x軸于點(diǎn)A（3，0），交y軸于點(diǎn)B．
（1）求拋物線(xiàn)和直線(xiàn)AB的解析式；
（2）連結(jié)CA，CB，對(duì)稱(chēng)軸x=1與線(xiàn)段AB交于點(diǎn)D，求△CAB的鉛垂高CD及S_△CAB；
（3）如圖2，點(diǎn)P是拋物線(xiàn)（在第一象限內(nèi)）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PA，PB，是否存在一點(diǎn)P，使S_△PAB=S_△CAB？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a（x-1）²+4，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入，求出a的值，即可求得拋物線(xiàn)的解析式，由A、B坐標(biāo)可求出直線(xiàn)AB的解析式；
（2）求出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，再由點(diǎn)V的縱坐標(biāo)即可得出CD的長(zhǎng)度；
（3）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸交線(xiàn)段AB于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P（x，-x²+2x+3），則點(diǎn)F（x，-x+3），PF=-x²+2x+3-（-x+3）=-x²+3x，表示出S_△PAB，再由S_△PAB=S_△CAB，可得關(guān)于x的方程，解出即可．
解答：解：（1）∵拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為（1，4），
設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a（x-1）²+4，
把點(diǎn)A（3，0）代入得：0=a（3-1）²+4，
解得：a=-1，
∴拋物線(xiàn)的解析式為：y=-（x-1）²+4，
即y=-x²+2x+3，
當(dāng)x=0時(shí)，y=3，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3），
設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y=kx+b，
把點(diǎn)（3，0），B（0，3）代入得，，
解得，
∴直線(xiàn)的解析式為：y=-x+3；

（2）把x=1代入y=-x+3得：y=2，
則CD=4-2=2，
設(shè)對(duì)稱(chēng)軸x=1與x軸交于點(diǎn)H，
S_△CAB=CD•OH+CD•HA=CD•OA=×2×3=3；

（3）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸交線(xiàn)段AB于點(diǎn)F，
設(shè)點(diǎn)P（x，-x²+2x+3），則點(diǎn)F（x，-x+3），PF=-x²+2x+3-（-x+3）=-x²+3x，
S_△PAB=PF•OA=×3（-x²+3x）=-x²+x（0＜x＜3），
要使S_△PAB=S_△CAB，
則有-x²+x=×3，即4x²-12x+9=0，
解得：x₁=x₂=，
當(dāng)x=時(shí)，y=-x²+2x+3=，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、三角形的面積、一元二次方程的解，第一、第二問(wèn)相對(duì)較簡(jiǎn)單，難點(diǎn)在第三問(wèn)，關(guān)鍵是設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，得出點(diǎn)F坐標(biāo)，表示出PF的長(zhǎng)度，根據(jù)S_△PAB=S_△CAB建立方程．