分析 (1)設(shè)x秒后△PBQ與原三角形相似,則可用x表示出AP=2x,PB=12-2x,BQ=4x,由于△PBQ和△ABC有公共角∠B,則根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似,分兩種情況;
(2)根據(jù)等量關(guān)系“四邊形APQC的面積=△ABC的面積-△PBQ的面積”列出函數(shù)關(guān)系求最小值即可.
解答 解:(1)設(shè)x秒后△PBQ與△ABC相似,則AP=x,PB=12-2x,BQ=4x,
∵∠PBQ=∠ABC
∴當(dāng)$\frac{PB}{AB}=\frac{BQ}{BC}$時,△BPQ∽△BAC,
即$\frac{12-2x}{12}=\frac{4x}{24}$,
解得x=3(s);
當(dāng)$\frac{PB}{CB}=\frac{BQ}{BA}$時,△PBQ∽△CBA,
即$\frac{12-2x}{24}=\frac{4x}{12}$,
解得x=$\frac{6}{5}$(s).
即經(jīng)過3秒或$\frac{6}{5}$秒后,△PBQ與△ABC相似.
(2)設(shè)P、Q同時出發(fā)后經(jīng)過的時間為ts,四邊形APQC的面積為Smm2,
則有:S=S△ABC-S△PBQ
=$\frac{1}{2}$×12×24-$\frac{1}{2}$×4t×(12-2t)
=4t2-24t+144
=4(t-3)2+108.
∵4>0
∴當(dāng)t=3s時,S取得最小值,最小值為108mm2.
點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定、三角形面積的計算以及最小值問題.也考查了動點(diǎn)問題的解決方法.
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