Question

設二次函數(shù)y=-x²+（m-2）x+3（m+1）的圖象與x軸交于A、B兩點（A在B左邊），與y軸交于C點，線段AO與OB的長的積等于6（O是坐標原點），連接AC、BC，求sinC的值．

Answer 1

【答案】分析：設二次函數(shù)y=-x²+（m-2）x+3（m+1）的圖象與x軸的兩交點A、B的坐標為（x₁，0），（x₂，0），那么OA=|x₁|，OB=|x₂|，根據(jù)根與系數(shù)的關系可以得到x₁+x₂=-（m-2），x₁x₂=-3（m+1），而線段AO與OB的長的積等于6，由此可以求出m，也就求出了拋物線的解析式，然后求出A、B、C三點坐標，最后利用三角函數(shù)的定義即可求出sinC的值．
解答：解：∵二次函數(shù)y=-x²+（m-2）x+3（m+1）的圖象與x軸交于A、B兩點（A在B左邊），
∴設A、B的坐標為（x₁，0），（x₂，0），
∴OA=|x₁|，OB=|x₂|，
∴x₁+x₂=-（m-2），x₁x₂=-3（m+1），
而線段AO與OB的長的積等于6，
∴3（m+1）=±6，
∴m=1或-3，
當m=1時，拋物線解析式為y=-x²-x+6，
∴A、B的坐標為（-3，0），（2，0），C（0，6）
∴AC=3，BC=2，AB=5，
如圖拋物線過A作AD⊥BC于D，
則S_△ABC=CO•BA=AD•BC，
∴AD==，
∴sinC==；
當m=-3時，拋物線解析式為y=-x²-5x-6，
∴A、B的坐標為（-3，0），（-2，0），C（0，-6）
∴AC=3，BC=2，AB=1，
如圖拋物線過A作AD⊥BC于D，
則S_△ABC=CO•BA=AD•BC，
∴AD==，
∴sinC==；
所以sinC的值為或．
點評：此題主要考查了拋物線與x軸的交點，也考查了三角函數(shù)的定義、根與系數(shù)的關系和待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，綜合性比較強，對學生的能力要求比較高，平時應該加強訓練．