Question

如圖，△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于點D，且AD=6，BD=3，求CD的長和tan∠C的值．

Answer 1

考點：勾股定理

專題：

分析：分別以AB，AC為對稱軸，作出△ABD，△ACD的軸對稱圖形，點D的對稱點分別為E，F(xiàn)，延長EB，F(xiàn)C交于點G，證明四邊形AEGF是正方形；設(shè)CD=x，利用勾股定理，建立關(guān)于x的方程模型，求出CD的值，再由銳角三角函數(shù)的定義求出tan∠C的值．

解答：解：∵△ABE由△ABD翻折而成，△ACF由△ACD翻折而成，
∴△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF．
∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，又∠BAC=45°，
∴∠EAF=90°．
又∵AD⊥BC，
∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°．
∴四邊形AEGF是矩形，
又∵AE=AD，AF=AD
∴AE=AF．
∴矩形AEGF是正方形，且邊長為6，
設(shè)CD=x，則CF=x，CG=6-x，BG=3，
在Rt△BGC中，BG²+CG²=BC²，
∴3²+（6-x）²=（3+x）²．
解得x=

3

2

，即CD=

3

2

．
∴tan∠C=

AD

CD

=

6

3 2

=4．

點評：本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵．