Question

如圖：已知y=ax²+bx+c與x軸交于A，B兩點，A，B坐標分別是（-1，0）和（3，0）與y軸交于點C（0，3）．
（1）求拋物線解析式，并確定其對稱軸；
（2）拋物線的對稱軸上是否存在點E，使得△ACE的周長最��？若存在，求出點E的坐標，并求出最小周長；若不存在，請說明理由；
（3）在第一象限內(nèi)拋物線上是否存在一點D，使得四邊形OCDB的面積最大？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意得：
解得：

∴拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3，對稱軸為：；

（2）存在．
連接BC．設(shè)BC表達式為：y=kx+b．由題意得：

解得：b=3，k=-1
∴y=-x+3，當x=1時，y=-1+3=2
∴點E坐標為（1，2）．此時△ACE的周長最小，周長=AC+BC
在直角三角形AOC和直角三角形BOC中，由勾股定理得：
AC=，BC=3
∴周長=AC+BC=；

（3）存在．設(shè)點D如圖所示，過點D作DE⊥OC于點E，
設(shè)點D的坐標為（a，-a²+2a+3），則E點坐標為（0，-a²+2a+3）
∴EC=-a²+2a+3-3=-a²+2a，DE=a
S_{四邊形OCDB}=S_梯形OEDB-S_△EDC=（a+3）（-a²+2a+3）-a（-a²+2a）
即S=，

當時，S_最大=
當a=時，，
∴此時點D的坐標是．
分析：（1）要求拋物線的解析式，直接利用待定系數(shù)法把已知點的坐標代入解析式構(gòu)造一個三元一次方程組就可以了．然后代入對稱軸公式就可以求出對稱軸了．
（2）是一個軸對稱問題，點A與點B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，利用兩點之間線段最短，連接BC于對稱軸的交點就是點E．再求出BC的解析式，最后于對稱軸的解析式建立二元一次方程組，就可以求出點E的坐標．
（3）設(shè)出點D的坐標，作ED⊥OC于點D，就可以表示出點D的坐標，從而表示出四邊形面積的表達式，利用函數(shù)的解析式確定其最值，有最大值則點D存在，就可以求出D點的坐標．
點評：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、勾股定理、軸對稱的性質(zhì)、平面圖形的面積的計算，拋物線的頂點式的運用等多個知識點，難度比較大．