Question

若

a+b

c

=

b+c

a

=

c+a

b

，那么

(a+b)(b+c)(c+a)

abc

的值等于

 

．

Answer 1

分析：觀察

(a+b)

c

=

(b+c)

a

=

(c+a)

b

與

(a+b)(b+c)(c+a)

abc

發(fā)現(xiàn)，后者是通過前者相乘得來．那么只要找出

(a+b)

c

=

(b+c)

a

=

(c+a)

b

的值解出，因此設(shè)

(a+b)

c

=

(b+c)

a

=

(c+a)

b

=k通過變換化為（a+b+c）（k-2）=0那么可能是a+b+c=0或k=2對這兩種情況分別討論．

解答：解：
設(shè)若

a+b

c

=

b+c

a

=

c+a

b

=k，
則a+b=kc，b+c=ka，c+a=kb
（a+b）+（b+c）+（c+a）=kc+ka+kb
2（a+b+c）=k（a+b+c）
即（a+b+c）（k-2）=0
所以a+b+c=0或k=2
①當a+b+c=0時，則a+b=-c，

a+b

c

=-1，同理

b+c

a

=-1、

c+a

b

=-1
所以

(a+b)(b+c)(c+a)

abc

=

(a+b)

c

×

(b+c)

a

×

(c+a)

b

=(-1)×(-1)×(-1)=-1
②當k=2時，

(a+b)

c

=

(b+c)

a

=

(c+a)

b

=2
所以

(a+b)(b+c)(c+a)

abc

=

(a+b)

c

×

(b+c)

a

×

(c+a)

b

=2×2×2=8
故答案為8或-1

點評：做好本題的關(guān)鍵是找出a、b、c三個變量間的關(guān)系，因而假設(shè)

(a+b)

c

=

(b+c)

a

=

(c+a)

b

=k，做到這步已經(jīng)成功了一半．因而同學們在解題中一定要仔細觀察已知與結(jié)論找出其存在或隱含的關(guān)系．