Question

如圖1，在平面直角坐標系中，半徑為4的⊙O交坐標軸于A、B、C、D，點P為弧BC上一個動點（不與B、C點重合）．連AP、BC交于點G，連FG交OB 于點E．

（1）請運用圓的定義證明C、F、P、G在同一個圓上；
（2）當P為BC的中點時，求點G的坐標；
（3）如圖2，連接PD，設(shè)△PAB的內(nèi)切圓半徑為r，求證：．

Answer 1

解：（1）如圖1，取FG的中點M，連CM，PM．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=∠APB=90°，
∴∠BCF=∠FPB=90°
∴CM=GM=PM=FM=EG，即點C、F、P、G到點M的距離相等，
根據(jù)圓的定義：圓是到定點的距離等于定長的點的集合．
點C、F、P、G在以點M為圓心，MC長為半徑的圓上．

（2）如圖1，連PC．
∵點P為弧BC的中點，
∴=，
∴∠BAP=∠CAP．
又∵AP⊥BF，BC⊥AF，AP、BC交于點G，
∴點G為△ABF的垂心，
∴FG⊥AB，即GE⊥AB．
∵在△ACG和△AEG中，
，
∴△ACG≌△AEG（AAS）．
∴AC=AE．
∵AO⊥OC，AO=OC=4，
∴AC=4，
∴AE=4．
∴OE=AE-AO=4-4，
∴BE=OB-OE=8-4．
∵∠1=∠CAB=45°，
∴∠=∠2=45°，
∴EG=BE=8-4，
∴點G的坐標是：（4-4，8-4）；

（3）證明：如圖2，作∠ABP的角平分線BQ交PD于點Q，過點Q作QM⊥AP，QN⊥BP，垂足分別為點M、N．
∵=，
∴∠1=∠2=45°．
又∵BQ平分∠ABP，
∴點Q即為△PAB的內(nèi)心，
∴QM=QN=r，又∠QMP=∠QNP=∠MPN=90°，
∴四邊形MQNP為正方形，易得PQ=QM=r，
∵△BPQ的外角∠5=∠2+∠3=45°+∠3，∠DBQ=∠DBO+∠4=45°+∠4，又∠3=∠4，
∴∠5=∠DBQ，
∴DQ=DB=4，
∴PD=PQ+QD=r+4=（4+r）．
分析：（1）取FG的中點M，連CM，PM，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，證明CM=GM=PM=FM即可；
（2）如圖1，連PC．由三角形垂心的定義推知FE⊥AB．首先由全等三角形（△ACG≌△AEG）的性質(zhì)知對應邊AC=AE=4；然后根據(jù)圓心角、弧、弦間的關(guān)系，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)求得BE=EG=8-4．則易求點G的坐標；
（3）如圖2，作∠ABP的角平分線BQ交PD于點Q，過點Q作QM⊥AP，QN⊥BP，垂足分別為點M、N．通過圓周角定理，圓周角、弧、弦間的關(guān)系推知點Q即為△APB的內(nèi)心．根據(jù)內(nèi)心的定義以及正方形的判定推知四邊形MQNP為正方形，易得PQ=QM=r；然后根據(jù)△BPQ的外交定理，等腰三角形的判定求得DQ=DB=4，所以PD=PQ+QD=r+4=（4+r）．
點評：本題考查了圓的綜合題．其中涉及到的知識點有圓周角定理，圓的定義，圓周角、弧、弦間的關(guān)系以及全等三角形的判定與性質(zhì)等．注意（3）中輔助線的作法．