Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，BD為一條對角線，AD∥BC，AD=2BC，∠ABD=90°，E為AD的中點，連接BE．

（1）求證：四邊形BCDE為菱形；

（2）連接AC，若AC平分∠BAD，BC=1，求AC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AC=；

【解析】

（1）由DE=BC，DE∥BC，推出四邊形BCDE是平行四邊形，再證明BE=DE即可解決問題；
（2）只要證明△ACD是直角三角形，∠ADC=60°，AD=2即可解決問題；

（1）證明：∵AD=2BC，E為AD的中點，

∴DE=BC，

∵AD∥BC，

∴四邊形BCDE是平行四邊形，

∵∠ABD=90°，AE=DE，

∴BE=DE，

∴四邊形BCDE是菱形．

（2）連接AC，如圖所示：

∵∠ADB=30°，∠ABD=90°，

∴AD=2AB，

∵AD=2BC，

∴AB=BC，

∴∠BAC=∠BCA，

∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠BCA，

∴∠CAB=∠CAD=30°

∴AB=BC=DC=1，AD=2BC=2，

∵∠DAC=30°，∠ADC=60°，

在Rt△ACD中，AC=．