Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是直徑，點(diǎn)D是弧BC的中點(diǎn)，連接AD，交BC于點(diǎn)F．

⑴過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，判斷DE是否是⊙O的切線，并說(shuō)明理由；

⑵若CD = 6，AC ：AF = 4 ：5，求⊙O的半徑．

Answer 1

 (1)DE是⊙O的切線．

證明：連接OD，交BC于點(diǎn)G，

則OA=OD，∴∠ODA=∠OAD．

∵點(diǎn)D是弧BC的中點(diǎn)，∴弧DC=弧BD，∴∠CAD=∠OAD．

∴∠CAD=∠ODA， ∴OD∥AC．

 ∴∠ODE+∠AED=180°．

∵AB是直徑，∴∠ACB=90°．

又∵DE∥BC，∴∠AED=∠ACB=90°．

∴∠ODE=90°，∴ODDE． ∴DE是⊙O的切線．

（2）∵AB是直徑，∴∠ADB=∠ACB =90°．

由（1）知，∠CAD=∠BAD．

∴△ACF∽△ADB．

∴，

∴，∴．

又∵，BD=CD=6，∴AB=10．

∵AB是⊙O直徑，∴⊙O的半徑為5．