Question

已知拋物線y=（k-1）x²+2kx+k-2與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)（1，5）在此拋物線上，求此拋物線的解析式；
（2）在（1）的條件下，直接寫出當(dāng)y＜0時(shí)，x的取值范圍；
（3）若此拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)（1，5）在此拋物線上，
∴k-1+2k+k-2=5，
解得k=2，
∴拋物線解析式為y=x²+4x；
（2）∵y=x²+4x，令y=0，
∴0=x²+4x，
解得：x=0或4，
∴拋物線和x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是0或4，
∵a=1＞0，
∴當(dāng)x＜-4或x＞0時(shí)，y＜0．
（3）∵拋物線y=（k-1）x²+2kx+k-2與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)
∴b²-4ac＞0，
k-1≠0
解得k＞且k≠1．
分析：（1）把點(diǎn)（1，5）代入即可求出k的值，進(jìn)而求出此拋物線的解析式；
（2）由（1）可知拋物線的解析式，令y=0即可求出拋物線和x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求出出當(dāng)y＜0時(shí)，x的取值范圍；
（3）若此拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則△＞0，進(jìn)而求出k的取值范圍．
點(diǎn)評：本題考查了求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令y=0，即ax²+bx+c=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)和二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點(diǎn)與一元二次方程ax²+bx+c=0根之間的關(guān)系．△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．△=b²-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；
△=b²-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．