Question

已知拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)為（1，0），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1）．
（1）求該拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)的解析式；
（2）將該拋物線(xiàn)向下平移m（m＞0）個(gè)單位，設(shè)得到的拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為A，與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為B、C，若△ABC為等邊三角形．
①求m的值；
②設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)D，在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P，使四邊形CBDP為菱形？若存在，寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)及函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），利用待定系數(shù)法求解即可．
（2）①先寫(xiě)出平移后的函數(shù)解析式，然后得出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H，根據(jù)△ABC為等邊三角形，可得出關(guān)于m的方程，解出即可；
②求出點(diǎn)D坐標(biāo)，分兩種情況進(jìn)行討論，①PD為對(duì)角線(xiàn)，②PD為邊，根據(jù)菱形的性質(zhì)求解即可．

解答：解：（1）由題意可得，

a+b+c=0 - b 2a =1 c=1.

，
解得

a=1 b=-2 c=1.

，
故拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)的解析式為y=x²-2x+1；

（2）①將y=x²-2x+1向下平移m個(gè)單位得：y=x²-2x+1-m=（x-1）²-m，
可知A（1，-m），B（1-

m

，0），C（1+

m

，0），BC=2

m

，
過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H，
∵△ABC為等邊三角形，
∴BH=HC=

1

2

BC，∠CAH=30°，
∴AH=

HC

tan∠CAH

，即

m

3 3

=m，
由m＞0，解得m=3．
②在拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)P，能使四邊形CBDP為菱形．理由如下：
∵點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，
∴D（1，3），
①當(dāng)DP為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，顯然點(diǎn)P在點(diǎn)A位置上時(shí)，符合題意，
故此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，-3）；
②當(dāng)DP為邊時(shí)，要使四邊形CBDP為菱形，需DP∥BC，DP=BC．
由點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，3），DP=BC=2

3

，可知點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1+2

3

，
當(dāng)x=1+2

3

時(shí)，y=x²-2x+1-m=x²-2x-2=(1+2

3

)2-2（1+2

3

）-2=11≠3，
故不存在這樣的點(diǎn)P．
綜上可得，存在使四邊形CBDP為菱形的點(diǎn)P，坐標(biāo)為（1，-3）．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于二次函數(shù)的綜合題，屬于綜合性較強(qiáng)的題目，應(yīng)理清思路，對(duì)每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)都應(yīng)熟練掌握并能靈活運(yùn)用，求出二次函數(shù)的解析式是解此題的關(guān)鍵，應(yīng)熟練掌握三點(diǎn)式和頂點(diǎn)式求拋物線(xiàn)解析式的方法，二次函數(shù)的平移通常指的是圖象的平移，應(yīng)注意總結(jié)平移的規(guī)律．