如圖,△ABC為直角三角形,∠C=90°,BC=2cm,∠A=30°;四邊形DEFG為矩形,DE=2
3
cm,EF=6cm,且點(diǎn)C、B、E、F在同一條直線(xiàn)上,點(diǎn)B與點(diǎn)E重合.將Rt△ABC以每秒1cm的速度沿矩形DEFG的邊EF向右平移,當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)F重合時(shí)停止移動(dòng),設(shè)Rt△ABC與矩形DEFG重疊部分的面積為y,Rt△ABC平移的時(shí)間為x (s).
(1)求邊AC的長(zhǎng);
(2)求y 與x 的函數(shù)關(guān)系式;
(3)當(dāng)Rt△ABC移動(dòng)至重疊部分的面積為y=
3
2
3
cm2時(shí),將Rt△ABC沿邊AB向上翻折,得到Rt△ABC′,請(qǐng)求出Rt△ABC′與矩形DEFG重疊部分的周長(zhǎng).
(4)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā),沿矩形DEFG的邊DE、EF、FG運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)G停止.其中點(diǎn)P在DE邊上的速度為2
3
cm/s
,在EF邊上的速度為1cm/s,在FG邊上的速度為4
3
cm/s
.若點(diǎn)P與△ABC同時(shí)運(yùn)動(dòng),請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P落在△ABC內(nèi)部(不含邊)時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間x的取值范圍.
分析:(1)在直角三角形ABC中,根據(jù)BC的長(zhǎng)和∠A的與余切值即可求出AC的長(zhǎng);
(2)本題要找出幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):當(dāng)C與B重合、A與D重合時(shí),x=2.當(dāng)B與F重合時(shí),x=6;當(dāng)C與F重合時(shí),x=8;因此本題可分三種情況:
①當(dāng)0<x<2時(shí),此時(shí)重合部分是個(gè)直角三角形且與三角形ABC相似,可用它們的相似比求出重合部分的面積,
②當(dāng)2≤x≤6時(shí),重合部分是三角形ACB,因此其面積就是三角形ABC的面積,
③當(dāng)6<x<8時(shí),重合部分是個(gè)直角梯形,可參照①的思路進(jìn)行求解;
(3)可將y的值分別代入(2)的三種情況中,求出符合條件的x的值,然后用相似三角形和解直角三角形的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解即可;
(4)當(dāng)P開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí),一定在△ABC的外部,在(1)的情況,設(shè)在t秒時(shí)P在邊AB上,BE=tcm,EM=2
3
-2
3
t,根據(jù)△ABC∽△MBE,求得t的值,當(dāng)t大于這個(gè)值時(shí),P在△ABC的內(nèi)部,到P到達(dá)BC邊上時(shí),不滿(mǎn)足條件,一直到P到達(dá)F點(diǎn),再以后開(kāi)始在△ABC的內(nèi)部,直到P到達(dá)AB邊上,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得此時(shí)t的值,即可確定.
解答: 解:(1)AC=BC•cot∠A=2
3
(cm);

(2)如圖(1)當(dāng)0<x<2時(shí)
y
S△ABC
=(
x
2
2,
∴y=
x2
4
×
1
2
×2×2
3
即y=
3
2
x2;
當(dāng)2≤x≤6時(shí)y=S△ABC=2
3

如圖(2)當(dāng)6<x<8時(shí),AB交FG于H,
SFHB
S△ABC
=(
x-6
2
2,
∴S△FHB=
3
2
(x-6)2
∴y=S△ABC-S△FHB=2
3
-
3
2
(x-6)2=-
3
2
x2+6
3
x-16
3

綜上所述:y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=
3
2
x2(0<x<2)
2
3
(2≤x≤6)
-
3
2
x2+6
3
x-16
3
(6<x<8)
;

(3)當(dāng)0<x<2時(shí),
3
2
x2=
3
2
3
,
解得:x=
3
,
如圖(3)AB交DE于點(diǎn)M,AC′交DE于點(diǎn)N,
則∠AMN=∠CAB=∠BAC′=30°,
∴MN=AN.
∵在Rt△MEB中,MB=2BE=2
3
,
∴重疊部分的周長(zhǎng)=MN+NC′+BM=AN+N′C+C′B+BM=AC′+BC′+BM=2
3
+2+2
3
=4
3
+2(cm).
當(dāng)6<x<8時(shí),令y=
3
3
2
,則2
3
-
3
3
(x-6)2=
3
3
2
,
則(x-6)2=1,
解得:x1=7,x2=5(舍去).
如圖(4)Rt△MFB中,F(xiàn)B═7-6=1,
則MF=1×cot30°=
3
,AM=MB=2,
設(shè)MN=AN=a,則NG=
a
2
,
a
2
+a+
3
=2
3

解得:a=
2
3
3

故重疊部分周長(zhǎng)=C△AMN=2a+AM=
4
3
3
+2(cm);

(4)當(dāng)P開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí),一定在△ABC的外部,在(1)的情況,設(shè)在t秒時(shí)P在邊AB上,BE=tcm,EM=2
3
-2
3
t,
根據(jù)△ABC∽△MBE,則
ME
AC
=
BE
BC
,即
2
3
-2
3
t
2
3
=
t
2
,
解得:t=
2
3
,
當(dāng)
2
3
<t<1時(shí),P一定在△ABC的內(nèi)部;
當(dāng)t=1時(shí),P在BC的中點(diǎn)上,且在EF段,P與△ABC運(yùn)動(dòng)的速度相同,因而在1≤t≤8時(shí),P始終是BC的中點(diǎn).
當(dāng)t=7秒時(shí),P到達(dá)F點(diǎn),再運(yùn)動(dòng)則一定在△ABC的內(nèi)部,根據(jù)圖(2),△ABC∽△MFB,
HF
AC
=
BF
BC
,即
4
3
(8-t)
2
3
=
(t-8+1)
2
,
解得:t=8
1
3

則8<t<8
1
3
時(shí),P在△ABC的內(nèi)部.
總之,
2
3
<t<1或7<t<8
1
3
時(shí)P在△ABC的內(nèi)部.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了直角三角形和矩形的性質(zhì)、圖形的翻折變換、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí),要注意(2)(3)小題要分類(lèi)討論,不要漏解.
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精英家教網(wǎng)如圖,△ABC為直角三角形,∠C=90°,BC=2cm,∠A=30°,四邊形DEFG為矩形,DE=2
3
cm
,EF=6cm,且點(diǎn)C、B、E、F在同一條直線(xiàn)上,點(diǎn)B與點(diǎn)E重合.Rt△ABC以每秒1cm的速度沿矩形DEFG的邊EF向右平移,當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)F重合時(shí)停止.設(shè)Rt△ABC與矩形DEFG的重疊部分的面積為ycm2,運(yùn)動(dòng)時(shí)間xs.能反映ycm2與xs之間函數(shù)關(guān)系的大致圖象是( 。
A、精英家教網(wǎng)
B、精英家教網(wǎng)
C、精英家教網(wǎng)
D、精英家教網(wǎng)

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如圖,△ABC為直角三角形,∠C=90°,BC=2cm,∠A=30°;四邊形DEFG為矩形,DE=2
3
cm,EF=6cm,且點(diǎn)C、B、E、F在同一條直線(xiàn)上,點(diǎn)B與點(diǎn)E重合.
(1)求AC的長(zhǎng)度;
(2)將Rt△ABC以每秒1 cm的速度沿矩形DEFG的邊EF向右平移,當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)F重合時(shí)停止移動(dòng),設(shè)Rt△ABC與矩形DEFG重疊部分的面積為y,請(qǐng)求出重疊面積y(cm2)與移動(dòng)時(shí)間x(s)的函數(shù)關(guān)系式(時(shí)間不包括起始與終止時(shí)刻);
(3)在(2)的基礎(chǔ)上,當(dāng)Rt△ABC移動(dòng)至重疊部分的面積y=
3
2
3
時(shí),將Rt△ABC沿邊AB向上翻折,精英家教網(wǎng)并使點(diǎn)C與點(diǎn)C’重合,請(qǐng)求出翻折后Rt△ABC’與矩形DEFG重疊部分的周長(zhǎng).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知如圖:△ABC為直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC,點(diǎn)A、C在x軸上,點(diǎn)B坐標(biāo)為(3,m)(m>0),線(xiàn)段AB與y軸相交于點(diǎn)D,以P(1,0)為頂點(diǎn)的拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)B、D.設(shè)點(diǎn)Q為拋物線(xiàn)上點(diǎn)P至點(diǎn)B之間的一動(dòng)點(diǎn),連接PQ并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E,連接BQ并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F,則FC(AC+EC)=
8
8

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如圖,△ABC為直角三角形,AC=3cm,BC=4cm,AB=5cm,將△ABC沿CB方向平移3cm,則邊AB所經(jīng)過(guò)的平面面積為
9cm2
9cm2

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