Question

已知直線ln：y=-

n+1

n

x+

1

n

（n是不為零的自然數(shù)）．當(dāng)n=1時(shí)，直線l₁：y=-2x+1與x軸和y軸分別交于點(diǎn)A₁和B₁，設(shè)△A₁OB₁（其中O是平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)）的面積為S₁；當(dāng)n=2時(shí)，直線l2：y=-

3

2

x+

1

2

與x軸和y軸分別交于點(diǎn)A₂和B₂，設(shè)△A₂OB₂的面積為S₂；…依此類推，直線l_n與x軸和y軸分別交于點(diǎn)A_n和B_n，S₁+S₂+…+S₂₀₀₉的值是

 

．

Answer 1

分析：分別求得△A₁OB₁，△A₂OB₂，以及△AnBnCn的面積，總結(jié)規(guī)律．即可求得．

解答：解：y=-2x+1中分別令y=0，x=0，解得：x=1，y=

1

2

，即直線與x軸和y軸交點(diǎn)A₁和B₁，分別是（1，0）（0，

1

2

）．則△A₁OB₁（其中O是平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)）的面積為

1

2

×1×

1

2

．
同理△A₂OB₂的面積為：

1

2

×

1

2

×

1

3

；
△AnBnCn的面積是

1

2

×

1

n

×

1

n+1

．
則S₁+S₂+…+S₂₀₀₉的值

1

2

×1×

1

2

+

1

2

×

1

2

×

1

3

+…+

1

2

×

1

2009

×

1

2010

=

1

2

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2009

-

1

2010

）
=

1

2

（1-

1

2010

）
=

2009

4020

點(diǎn)評(píng)：正確求出各個(gè)三角形的面積是重點(diǎn)，求

1

2

×1×

1

2

+

1

2

×

1

2

×

1

3

+…+

1

2

×

1

2009

×

1

2010

的值是解決本題的關(guān)鍵．