已知:將一副三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)如圖①擺放,點(diǎn)E、A、D、B在一條直線上,且D是AB中點(diǎn),將Rt△DEF繞著點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角α(0°<α<90°),在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,直線DE、AC相交于點(diǎn)M,直線DF、BC相交于點(diǎn)N,分別過(guò)點(diǎn)M、N作直線AB的垂線,垂足為G、H.
(1)猜想:在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,AG與DH的數(shù)量關(guān)系是:______;
(2)就旋轉(zhuǎn)角α的情況,請(qǐng)選擇圖②、③、④中的一種情況,對(duì)你的猜想進(jìn)行證明.
友情提示:若選擇圖②(即α=30°時(shí)),滿(mǎn)分為8分;若選擇圖③(即α=60°時(shí)),滿(mǎn)分為10分;選擇圖④(即任意情況0°<α<90°時(shí)).

【答案】分析:(1)相等,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)推出DH=BD,AG=AD即可;
(2)求出∠AMD=90°=∠CMD,得出矩形CMDN,推出∠DNB=90°,根據(jù)直角推出∠MDA=∠B,∠A=∠NDB,根據(jù)AAS證△ADM和△DBN全等,推出AM=DN,根據(jù)AAS證△AGM和△DHN全等即可.
解答:解:(1)AG和DH的數(shù)量關(guān)系是相等,
理由是:如圖2,∵∠ACB=90°,∠A=30°,D為AB中點(diǎn),
∴∠B=60°,CD=BD=AD,
∴△CDB是等邊三角形,
∴∠CDB=60°,CD=BD=BC,
∵CH⊥AB,
∴DH=BH=DB,
∵∠EDF=90°,
∴∠MDA+∠CDB=90°,
∴∠MDA=90°-60°=30°=∠A,
∴AM=MD,
∵M(jìn)G⊥AD,
∴AG=GD=AD,
∵AD=BD,
∴AG=DH.

故答案為:相等.

(2)結(jié)論是AG=DH,
證明:選圖3,
∵∠A=30°,∠EDA=α=60°,
∴∠AMD=90°=∠CMD,
∵∠C=∠EDF=90°,
∴四邊形CMDN是矩形,
∴∠CND=90°=∠DNB,
∵∠A=30°,∠ACB=90°,
∴∠B=60°=∠EDA,
∵∠EDF=90°,
∴∠NDB=180°-90°-60°=30°=∠A,
在△AMD和△DNB中
,
∴△AMD≌△DNB,
∴AM=DN,
∵M(jìn)G⊥AB,NH⊥AB,
∴∠MGA=∠NHD=90°,
在△AGM和△DHN中

∴△AGM≌△DHN,
∴AG=DH.
選④
證明:∵在Rt△AMG中,∠A=30°,
∴∠AMG=60°=∠B,
∵∠AGM=∠BHN=90°,
∴△AGM∽△NHB,
=①,
∵∠MDG=α,
∴∠DMG=90°-α=∠NDH,
∵∠MGD=∠DHN=90°,
∴△MGD∽△DHN,
=②,
①×②得:=,
=,
=,
∴由比例性質(zhì)得:=,
=
∵AD=BD,
∴AG=DH.
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的運(yùn)用,解此題的關(guān)鍵是找出兩個(gè)全等的三角形,根據(jù)三角形全等的性質(zhì)推出結(jié)論.題型較好,有一定的規(guī)律性.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(北師大版)已知:將一副三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)如圖1擺放,點(diǎn)E、A、D、B在一條直線上,且D是AB的中點(diǎn).將Rt△DEF繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角α(0°<α<90°),在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,直線DE、AC相交于點(diǎn)M,直線DF、BC相交于點(diǎn)N,分別過(guò)點(diǎn)M、N作直線AB的垂線,垂足為G、H.
(1)當(dāng)α=30°時(shí)(如圖2),求證:AG=DH;
(2)當(dāng)α=60°時(shí)(如圖3),(1)中的結(jié)論是否成立?請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論,并說(shuō)明理由;
(3)當(dāng)0°<α<90°時(shí),(1)中的結(jié)論是否成立?請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論,并根據(jù)圖④說(shuō)明理由.
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(1)猜想:在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,AG與DH的數(shù)量關(guān)系是:
相等
相等

(2)就旋轉(zhuǎn)角α的情況,請(qǐng)選擇圖②、③、④中的一種情況,對(duì)你的猜想進(jìn)行證明.
友情提示:若選擇圖②(即α=30°時(shí)),滿(mǎn)分為8分;若選擇圖③(即α=60°時(shí)),滿(mǎn)分為10分;選擇圖④(即任意情況0°<α<90°時(shí)).

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(1)當(dāng)α=30°時(shí)(如圖②),求證:AG=DH;
(2)當(dāng)0°<α<90°時(shí),(1)中的結(jié)論是否成立?請(qǐng)根據(jù)圖③說(shuō)明理由.
(3)在Rt△DEF繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)過(guò)程中,DM與DN的比值是否發(fā)生改變?如果不改變,請(qǐng)直接寫(xiě)出比值;如果改變,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010年浙江省湖州市菱湖一中八年級(jí)上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)卷 題型:解答題

已知:將一副三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)如圖①擺放,點(diǎn)E、A、D、B在一條直線上,且D是AB的中點(diǎn)。將Rt△DEF繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角α(0°<α<90°),在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,直線DE、AC相交于點(diǎn)M,直線DF、BC相交于點(diǎn)N,分別過(guò)點(diǎn)M、N作直線AB的垂線,垂足為G、H.
【小題1】當(dāng)α=30°時(shí),DF剛好過(guò)點(diǎn)C(如圖②),求證:AM=DM;
【小題2】在(1)的條件下,試判斷線段AG與DH的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;
【小題3】“當(dāng)在Rt△DEF繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)過(guò)程中時(shí)α=60°(如圖③),(2)中的結(jié)論是否成立?

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1.當(dāng)α=30°時(shí),DF剛好過(guò)點(diǎn)C(如圖②),求證:AM=DM;

2.在(1)的條件下,試判斷線段AG與DH的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;

3.“當(dāng)在Rt△DEF繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)過(guò)程中時(shí)α=60°(如圖③),(2)中的結(jié)論是否成立?

 

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