Question

如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3 cm，AC＝4 cm．

(1)以斜邊BC上距離C點(diǎn)2 cm的點(diǎn)P為中心，把這個(gè)三角形按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°至△DEF，并且DF交AC于點(diǎn)N，EF交AC于點(diǎn)M，則△NMF與△ABC的形狀關(guān)系為________；

(2)在(1)的條件下，求旋轉(zhuǎn)后△DEF與△ABC重疊部分的面積S；

(3)以斜邊BC上距離C點(diǎn)x cm的點(diǎn)P為中心(P不是B、C)，把這個(gè)三角形按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°至△DEF，設(shè)△DEF與△ABC重疊部分的面積為y，求出y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)相似；　　1分 　　(2)∵繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)90°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)， 　　EF⊥BC于P，從而得Rt△COM， 　　且Rt△CPM∽Rt△CAB，△CPM≌△FPQ．　　2分 　　由勾股定理可求得BC＝2 cm．　　3分 　　∵CP＝2 cm，且FP＝CP＝2 cm(旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)線段相等)．　　分 　　由△CPM∽△CAB，得，即， 　　得PM＝；FM＝FP－PM＝2－＝，　　5分 　　由△FPQ∽△FDE得，∴PQ＝，　　6分 　　∴S△ＦＱＰ＝FP·PQ＝·2·＝－．　　7分 　　由△FNM∽△CAB， 　　得，∴FN＝；同樣，，得NM＝， 　　從而得S△ＦＭＮ＝FN·NM＝··＝，　　8分 　　∴重疊部分的面積S＝S△ＦＱＰ－S△ＦＮＭ 　�。絊△ＣＭＰ－S△ＦＮＭ＝·2·－＝；　　9分 　　(3)點(diǎn)P從C點(diǎn)逐漸向B移動(dòng)時(shí)，有三種情況， 　　它是由BC上的三段組成的P點(diǎn)的三個(gè)取值范圍， 　　見下圖所示，即P在CP１上、P在P１P２上、 　　P在P２B上這三段．其中的P１、P２是兩個(gè)特殊的位置：P１的位置是FD與AB有部分重合； 　　P２的位置是FE過A點(diǎn)． 　　下面先求出CP１的長． 　　對于圖2中的P１位置，即是下圖1中，當(dāng)AN＝0時(shí)的情況． 　　由PC＝x及△FNM∽△CPM∽△CAB，可得MC＝x， 　　MN＝x，∴NC＝NM＋MC＝x＋x＝x， 　　從而AN＝AC－NC＝4－x， 　　由AN＝0，解得x＝；　　10分 　　對于圖2中點(diǎn)P２的位置，容易求得P２C＝．　　11分 　　當(dāng)P在CP１間，即0＜x≤時(shí)， 　　y＝S⊿ＦＰＱ－S⊿ＦＮＭ＝S⊿ＣＰＭ－S⊿ＦＮＭ 　　＝PC·MP－FN·NM 　�。�x·x－·x·x＝；　　12分 　�、诋�(dāng)P在P１P２間，即＜x≤時(shí)， 　　y＝S⊿ＡBC－S⊿ＣＰＭ＝6－·x·x＝6－；　　13分 　�、郛�(dāng)P在P２B間，即＜x＜5時(shí)， 　　y＝DSＭＰＢ＝·(5－x)·(5－x) 　　＝．　　14分 　　故：當(dāng)0＜x≤時(shí)，y＝；當(dāng)＜x≤時(shí)，y＝6－；當(dāng)＜x＜5時(shí)，y＝．