Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25cm，AC=20cm，點P從點A出發(fā)，沿AB的方向勻速運動，速度為5cm/s；同時點M由點C出發(fā)，沿CA的方向勻速運動，速度為4cm/s，過點M作MN∥AB交BC于點N．設運動時間為ts（0＜t＜5）．
（1）用含t的代數(shù)式表示線段MN的長；
（2）連接PN，是否存在某一時刻t，使S_{四邊形AMNP}=48？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；
（3）連接PM、PN，是否存在某一時刻t，使點P在線段MN的垂直平分線上？若存在，求出此時
t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）解：∵MN∥AB，
∴=，
∴=，
∴MN=5t．

（2）解：存在，
理由是：
在△ACB中，AC=20，AB=25，由勾股定理得：BC=15，
∵MN∥AP，
∴△CMN∽△CAB，
∴==，
∴=，
CN=3t，CM=4t，
∴AM=20-4t，
由（1）中得到MN=5t，而AP=5t，可知MN=AP，
由于MN∥AP，
可知四邊形AMNP是平行四邊形，
S_{四邊形AMNP}=AM×CN=（20-4t）3t=48，
解得t=1或t=4
過P作PQ⊥BC于Q，
∴當t是1s或4s時，使S_{四邊形AMNP}=48，


（3）解：存在，
∵P在線段MN的垂直平分線上，
∴PN=PM，
又PN=AM，
∴PM=AM，
過M作MD⊥AB于D，
則AD=DP=，
由△AMD∽△ABC，
得，
，
解得t=．
分析：（1）根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式，代入求出即可；
（2）分別求出△ABC的面積、△CMN的面積、△BNP的面積，即可求出答案；
（3）連接PN、PM，過M作MD⊥AB于D，推出AM=MP，證△ADM∽△ACB，推出比例式，代入求出即可．
點評：本題考查了等腰三角形性質(zhì)和判定，線段垂直平分線性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)等知識點的應用，能熟練地運用性質(zhì)進行推理是解此題的關(guān)鍵，通過做此題培養(yǎng)了學生分析問題和解決問題的能力，題型較好，有一定難度．