Question

已知二次函數(shù)y=mx²+（m-3）x-3（m＞0）
（1）求證：它的圖象與x軸必有兩個交點；
（2）這條拋物線與x軸交于兩點A、B（A在B左），與y軸交于點C，頂點為D，sin∠ABD=，⊙M過A、B、C三點，求⊙M的面積；
（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點P，使PA是⊙M的切線？若存在，求出P點的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意，得
△=（m-3）²+12m
∵（m-3）²≥0，m＞0，
∴（m-3）²+12m＞0，
∴拋物線x軸必有兩個交點；

（2）當(dāng)y=0時，
∴mx²+（m-3）x-3=0，解得
x₁=-1，x₂=，
∵A在B左，
∴A（-1，0），B（，0），
∴AB=．
過點D作DH⊥AB于點H，由拋物線的對稱性得到AH=BH=AB，
由垂徑定理的性質(zhì)得，點M在DH上．
∵sin∠ABD=，設(shè)DH=2m，BD=5m，由勾股定理，得
BH=m，
∴BH=DH，
∴AB=DH，
∵OA=1，
∴OH=-1=，
∴D（，）
∴DH=-（），
=，
∴，解得：
m₁=1，m₂=-3（m＞0）
∴m=1，
∴拋物線的解析式為：y=x²-2x-3，HO=1，AH=2，設(shè)M（1，a），
∴MH=-a，MA=MC，CE=a-3，
∴（-a）²+4=1+（a+3）²
解得：a=-1
∴AM=，HM=1，
∴S_⊙M=5π．

（3）∵AP是⊙M的切線，
∴PA⊥MA，
∴△NAH∽△AMH，
∴=，
∴NH=4，
∴N（1，4），設(shè)直線AH的解析式為：y=kx+b，由題意，得
，解得：

∴直線AH的解析式為：y=2x+2，
∴，解得：
，（不符合題意，應(yīng)舍去）
∴P（5，12）
分析：（1）利用根的判別式直接證明就可以了．
（2）當(dāng)y=0時，可以表示出點A、B的坐標(biāo)，表示出AB的長度，再根據(jù)sin∠ABD=，DH=2BH，從而得到AB=DH，再根據(jù)拋物線的解析式求出m的值，設(shè)出M（1，a）利用圓的性質(zhì)可以求出半徑，最后求出面積．
（3）由圓的切線的性質(zhì)得出△NAH∽△AMH，可以求出NH的值，進(jìn)而求出N的坐標(biāo)，可以求出AN的解析式，可以求出與拋物線的交點坐標(biāo)P．
點評：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了拋物線的于x軸的交點，拋物線的圖象性質(zhì)，圓的切線的判定及性質(zhì)，勾股定理的運用．