Question

如圖，在直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸上，且，tan∠OAC=，將△OAC沿AC翻折使點(diǎn)O落在坐標(biāo)平面內(nèi)的B點(diǎn)處．
（1）求B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)O、B、A三點(diǎn)，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（3）在（2）中的二次函數(shù)圖象上是否存在一點(diǎn)P，使以P、A、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為梯形？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵tan∠OAC=，
∴∠OAC=30°
∵OC=，
∴OA==4，
由△OAC沿AC翻折知，OB⊥AC，
∴∠BOA=60°，∠OAB=2∠OAC=60°，
∴△OAB是等邊三角形，
∴OB=OA=4，
∵x_B=OB•cos∠BOA=2，y_B=OB•sin∠BOA=2，
∴B（2，）；

（2）∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)O、B、A三點(diǎn)，
∴設(shè)其為y=ax²+bx，
∵A（4，0），B（2，），
將其代入，得，
解得，
∴y=-x²+2x；

（3）若存在點(diǎn)P使四邊形PABO為梯形，
∵B為拋物線頂點(diǎn)，
∴OA不可能為梯形的底，
①當(dāng)OB∥P₁A時(shí)，有∠OAD=60°，
設(shè)AP₁交y軸于點(diǎn)D，
∵OA=4，
∴D（0，-4）
設(shè)過(guò)A、D的直線解析式為y=kx+b（k≠0），
∴，
解得：，
∴直線AD的解析式為：y=x-4，
∵P₁是二次函數(shù)圖象與直線AD的交點(diǎn)，
∴，
解得：或，
∵A（4，0），
∴P₁（-2，-6）；
過(guò)P₁作PM⊥x軸于M點(diǎn)，則線段P₁M=6，
∴線段P₁A=12，OB=4，
在四邊形P₁ABO中，BO∥AP₁，且BO≠AP₁，
∴四邊形P₁ABO是梯形；
②當(dāng)OP₂∥BA時(shí)，
∵直線AB的解析式為：y=-x+4，
∴直線OP₂的解析式為：y=-x，
∴，
解得：或，
∵O（0，0），
∴P₂（6，-6），
∴OP₂==12，
∵AB=4，
∴四邊形P₂ABO是梯形．
綜上：P₁（-2，-6），P₂（6，-6）．
分析：（1）由tan∠OAC=，OC=，即可得∠OAC=30°，OA=4，又由將△OAC沿AC翻折使點(diǎn)O落在坐標(biāo)平面內(nèi)的B點(diǎn)處，根據(jù)折疊的性質(zhì)，易得△OAB是等邊三角形，即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）利用待定系數(shù)法即可求得這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（3）由B為拋物線頂點(diǎn)，可得OA不可能為梯形的底，然后分別從①當(dāng)OB∥P₁A時(shí)與②當(dāng)OP₂∥BA時(shí)去分析求解即可求得答案．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、等邊三角形的判定與性質(zhì)、梯形的性質(zhì)、勾股定理以及三角函數(shù)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想與方程思想的應(yīng)用．