已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+1 （a＞0），設(shè)方程f（x）=x的兩個實數(shù)根為x1，x2．那么
（1）若x1＜2＜x2＜4，f（x）的對稱軸為x=x0，求證：x0＞-1；
（2）若|x1|＜2，|x2-x1|=2，求b的取值范圍．

（1）證明：設(shè)g（x）=f（x）-x，則
g（x）=ax2+（b-1）x+1，
∴，
∵x1＜2＜x2＜4，
∴（x1-2）（x2-2）＜0，即x1x2＜2（x1+x2）-4；
∴x0=-
=
=x1x2＞-（x1+x2）+2，
即+2＞×（2+4）+2，
∴x0＞-1；

（2）解：由方程g（x）=ax2+（b-1）x+1=0，可知
x1•x2=＞0，
∴x1•x2同號；
若0＜x1＜2，則x2-x1=2，
∴x2=x1+2＞2g（2）=4a+2b-1＜0              ①
又∵|x1-x2|2
=（x1+x2）2-4x1x2
=
=2，
∴2a+1=，將其代入①，得
2＜3-2b                       ②
解②得，b＜；
若-2＜x1＜0，則x2=-2+x1＜-2，
∴g（-2）=4a-2b+3＜0                       ③
將2a+1=代入③，得
＜2b-1                        ④
解④，得b＞；
綜上所述，可知
b＜或b＞．
分析：（1）設(shè)g（x）=f（x）-x=ax2+（b-1）x+1，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系來證明；
（2）根據(jù)二次函數(shù)根與系數(shù)的關(guān)系來求b的取值范圍．
點評：本題主要考查的是二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系：當(dāng)y=0時，ax2+bx+1=0即為一元二次方程．在解答此題時，主要利用了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系．
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相關(guān)習(xí)題

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已知二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象過點A（1，2），B（3，2），C（0，-1），D（2，3）．點P（x1，y1），Q（x2，y2）也在該函數(shù)的圖象上，當(dāng)0＜x1＜1，2＜x2＜3時，y1與y2的大小關(guān)系正確的是（　�。�
A、y1≥y2B、y1＞y2C、y1＜y2D、y1≤y2

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（0，3），頂點坐標(biāo)為（1，4），
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）求圖象與x軸交點A、B兩點的坐標(biāo)；
（3）圖象與y軸交點為點C，求三角形ABC的面積．

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（2013•莒南縣二模）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列5個結(jié)論：
①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的實數(shù)）．
其中正確的結(jié)論有（　　）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論：①ac＞0；②a-b+c＜0；
③當(dāng)x＜0時，y＜0；④方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個大于-1的實數(shù)根；⑤2a+b=0．其中，正確的說法有
②④⑤
②④⑤
．（請寫出所有正確說法的序號）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A，B兩點，已知A點坐標(biāo)為（-1，0），且對稱軸為直線x=2，則B點坐標(biāo)為
（5，0）
（5，0）
．

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