Question

 已知：如圖，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足為E，點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱，PB分別與線段CF，AF相交于P，M．求證：AB=CD．

Answer 1

分析：根據(jù)角平分線的定義可得∠CAD=∠DAB=

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∠BAC，然后求出BC是AD的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得AC=CD，再利用直角三角形兩銳角互余求出∠ABE=∠ACE，然后根據(jù)等角對(duì)等邊求出AB=AC，從而得證．

解答：證明：∵AF平分∠BAC，
∴∠CAD=∠DAB=

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∠BAC，
∵BC⊥AF，點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱，
∴BC是AD的垂直平分線，
∴AC=CD，
∵∠CAD+∠ACE=∠DAB+∠ABE=180°-90°=90°，
∴∠ABE=∠ACE，
∴AB=AC，
∴AB=CD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的角平分線，直角三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并求出AB、CD都與AC相等是解題的關(guān)鍵．