Question

（本題滿分10分）已知：如圖，矩形ABCD中，CD＝2，AD＝3，以C點(diǎn)為圓心，作一個(gè)動(dòng)圓，與線段AD交于點(diǎn)P（P和A、D不重合），過P作⊙C的切線交線段AB于F點(diǎn)．

（1）求證：△CDP∽△PAF；

（2）設(shè)DP＝x，AF＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，及自變量x的取值范圍；

（3）是否存在這樣的點(diǎn)P，使△APF沿PF翻折后，點(diǎn)A落在BC上，請說明理由．

 

Answer 1

（2）y＝（0＜x＜3）（3）不存在符合要求的點(diǎn)P

【解析】

試題分析：（1） 由EP與⊙C相切，所以∠CPF=90°，∠APF+∠DPF=90°．因?yàn)椤螪=90°，所以∠DCF+∠DPF=90°．∠APF=∠DCP, 通過兩角對應(yīng)相等，可得△AFP∽△DPC；

（2）由（1）可得△AFP∽△DPC，所以．又因?yàn)镻D=x, AF=y，AP=3-x,CD＝2，所以（0<x<3）；

（3）不存在．通過證明四邊形APCA1是平行四邊形，所以PD=BA1，在Rt△A1BF中，Y2=（2-y）2+x2，所以4-4y+x2=0．將y＝代入方程，整理后判斷△<0，所以符合題意的P點(diǎn)不存在．

試題解析：（1）∵PF切⊙C于點(diǎn)P，

∴CP⊥PF

∴∠1＋∠2＝90º，

而矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90º，

∴∠2＋∠3＝90º，

∴∠1＝∠3，

∴△CDP∽△PAF

（2）由（1）得，

即，整理可得，y＝（0＜x＜3）

（3）假設(shè)點(diǎn)A的落點(diǎn)為A’，則AA’⊥PF，AF＝A’F

∴AA’∥PC，得□AA’CP，則A’B＝DP

在Rt△A’BF中，x2＋（2－y）2＝y(tǒng)2，

即3x2-6x+4=0，因?yàn)椤?lt;0，該方程無實(shí)數(shù)根，不存在符合要求的點(diǎn)

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)，相似三角形，二次函數(shù)，一元二次方程的根的判別式