Question

（2004•東城區(qū)）如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，D是⊙O上一點(diǎn)，連接BD、CD、AC、BD交于點(diǎn)E．
（1）請(qǐng)找出圖中的相似三角形，并加以證明；
（2）若∠D=45°，BC=2，求⊙O的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）容易發(fā)現(xiàn)：△ABE與△DCE中，有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，根據(jù)相似三角形的判定可得到它們相似；
（2）求⊙O的面積，關(guān)鍵是求⊙O的半徑，為此作⊙O的直徑BF，連接CF，得出△BCF是等腰直角三角形，由BC=2，求出BF的長(zhǎng)，從而求出⊙O的面積．
解答：解：（1）結(jié)論：△ABE∽△DCE，（1分）
證明：在△ABE和△DCE中，
∵∠A=∠D，∠AEB=∠DEC，
∴△ABE∽△DCE．（3分）

（2）作⊙O的直徑BF，連接CF，
∴∠F=∠D=45°，∠BCF=90°．
∴△BCF是等腰直角三角形．（4分）
∵FC=BC=2，
∴BF=2．
∴OB=．（5分）
∴S_⊙O=OB²•π=2π．（6分）
點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了同弧所對(duì)的圓周角相等、直徑所對(duì)的圓周角為直角及相似三角形的判定．