【題目】如圖,是將拋物線平移后得到的拋物線,其對稱軸為,與軸的一個交點為,另一交點為,與軸交點為.
(1)求拋物線的函數(shù)表達式;
(2)若點為拋物線上一點,且,求點的坐標;
(3)點是拋物線上一點,點是一次函數(shù)的圖象上一點,若四邊形為平行四邊形,這樣的點是否存在?若存在,分別求出點的坐標,若不存在,說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3(2)(1,4)(3)P、Q的坐標是(0,3),(1,3)或(,)、(,)
【解析】
試題分析:(1)已知拋物線的對稱軸,因而可以設(shè)出頂點式,利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式;
(2)首先求得B和C的坐標,易證△OBC是等腰直角三角形,過點N作NH⊥y軸,垂足是H,設(shè)點N縱坐標是(a,﹣a2+2a+3),根據(jù)CH=NH即可列方程求解;
(3)四邊形OAPQ是平行四邊形,則PQ=OA=1,且PQ∥OA,設(shè)P(t,﹣t2+2t+3),代入y=x+,即可求解.
試題解析:(1)設(shè)拋物線的解析式是y=﹣(x﹣1)2+k.
把(﹣1,0)代入得0=﹣(﹣1﹣1)2+k,
解得k=4,
則拋物線的解析式是y=﹣(x﹣1)2+4,即y=﹣x2+2x+3;
(2)在y=﹣x2+2x+3中令x=0,則y=3,即C的坐標是(0,3),OC=3.
∵B的坐標是(3,0),
∴OB=3,
∴OC=OB,則△OBC是等腰直角三角形.
∴∠OCB=45°,
過點N作NH⊥y軸,垂足是H.
∵∠NCB=90°,
∴∠NCH=45°,
∴NH=CH,
∴HO=OC+CH=3+CH=3+NH,
設(shè)點N縱坐標是(a,﹣a2+2a+3).
∴a+3=﹣a2+2a+3,
解得a=0(舍去)或a=1,
∴N的坐標是(1,4);
(3)∵四邊形OAPQ是平行四邊形,則PQ=OA=1,且PQ∥OA,
設(shè)P(t,﹣t2+2t+3),代入y=x+,則﹣t2+2t+3=(t+1)+,
整理,得2t2﹣t=0,
解得t=0或.
∴﹣t2+2t+3的值為3或.
∴P、Q的坐標是(0,3),(1,3)或(,)、(,).
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【題目】把點M(-2,1)向右平移3個單位長度,再向下平移2個單位長度后得到點N,則點N的坐標為( )
A.(-4,4)B.(-5,3)C.(1,-1)D.(-5,-1)
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【題目】在一些漢字的美術(shù)字中,有的是軸對稱圖形.下面五個詞中“自由 平等 民主 敬業(yè) 友善”可以看作軸對稱圖形的漢字有個.( )
A.2個
B.3個
C.4個
D.5個
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【題目】在踐行社會主義核心價值觀活動中,共評選出各級各類“湖北好人”45 000多名.45 000這個數(shù)用科學記數(shù)法表示為( )
A.4.5×103
B.4.5×104
C.4.5×105
D.0.45×105
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8cm,BC=6cm,點D以每秒1cm的速度從點C出發(fā),沿邊CA往A運動,當運動到點A時停止。若設(shè)點D運動的時間為t秒,則當t=時,△CBD是等腰三角形。
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【題目】為籌備班級的初中聯(lián)歡會,班委會經(jīng)過討論決定在蘋果、桔子、香蕉、梨四種水管中選出一種購買,班長對全班學生愛吃那種水果做了調(diào)查,則最終在決定購買哪種水果時,下面的調(diào)查數(shù)據(jù)最值得關(guān)注的是( )
A.眾數(shù)B.平均數(shù)C.中位數(shù)D.方差
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